Caractérisation de la borne sup/inf

Bonsoir!
J'ai une grande difficulté à appliquer la caractérisation de la borne sup / inf (spécialement comme utiliser l'epsilon...)
Par exemple :
A= ${{n}/{(mn+1)}}$ tel que n,m appartiennent à IN*
Je "vois" que SupA= 1 et InfA=0 mais je n'arrive pas à le montrer d'une façon mathématique!
Pouvez-vous m'aider à dépasser ce problème et je serai très reconnaissante!!!

Bonjour sui ,

Détermine un encadrement de $n$ , $n m + 1$ puis de $A$

@Noemi ,@Sui bonsoir,

@sui ,

Je pense que tu veux dire que A est l'ensemble des éléments de la forme $nnm+1\dfrac{n}{nm+1}$ avec $n∈Nn\in N$ * et $m∈N∗m\in N^*$

Quelques idées si tu veux utiliser " $ϵ\epsilon$ "

Evidemment, tu dois commencer par justifier (ce que tu as sans doute fait) que A est borné par 0 et 1

Par exemple (à expliciter)
$0≤nnm+1≤nnm≤1m≤10\le \dfrac{n}{nm+1} \le \dfrac{n}{nm}\le \dfrac{1}{m}\le 1$

Pour justifier que $Inf(A)=0\fbox{ Inf(A)=0}$

Tu peux prouver que $∀ϵ>0\forall \epsilon \gt 0$ , $(n,m)∈\exists\ (n,m) \in$ N*² tel que $0≤nnm+1<0+ϵ0\le \dfrac{n}{nm+1}\lt 0+\epsilon$ , c'est à dire que

$0≤nnm+1<ϵ0\le \dfrac{n}{nm+1}\lt \epsilon$

Pour cela, tu choisis une valeur de n satisfaisante .
Soit n=1
Tu cherches l'existence d'une valeur de m telle que
$0≤1m+1<ϵ0\le \dfrac{1}{m+1}\lt \epsilon$
Après transformation , tu trouves :
$\gt \dfrac{1}{\epsilon}$ c'est à dire $m>1ϵ−1m\gt \dfrac{1}{\epsilon}-1$ (l'autre inégalité est sûre)
Cela est vrai vu que N* est pas majoré.

Pour justifier que $Sup(A)=1\fbox{Sup(A)=1}$

Même idée.
Tu peux prouver que $∀ϵ>0\forall \epsilon \gt 0$ , $∃(n,m)∈\exists (n,m) \in$ N* ² tel que $1−ϵ<nnm+1≤11-\epsilon\lt \dfrac{n}{nm+1}\le 1$ *

Pour cela, tu choisis une valeur de m satisfaisante .
Soit m=1
Tu cherches l'existence d'une valeur de n telle que
$1−ϵ<nn+11-\epsilon\lt \dfrac{n}{n+1}$ (l'autre inégalité est sûre)
Après transformation , tu trouves :
$n>1ϵ−1n\gt \dfrac{1}{\epsilon}-1$
Cela est vrai vu que N* n'est pas majoré.

J'espère que les définitions utilisées correspondent à ton cours (sinon, adapte)
Il y a bien sur d'autres façons pour solutionner ta question, mais j'ai pris celle avec epsilon.

@sui ,

Quelques idées si tu voulais traiter l'exercice sans "epsilon"

Après avoir justifié que A est majoré par 1, en faisant un tableau à double entrée pour les premières valeurs de m et n (1,2,3,,...), tu trouves que pour n=2 et m=1, A=1
Donc 1 est élément de A et est majorant. C'est donc le plus grand élément de A donc à forciori la borne supérieure.
Tu peux donc écrire : $max(A)=Sup(A)=1\fbox{ max(A)=Sup(A)=1}$

Après avoir justifié que A est minoré par 0, tu peux écrire, vu que inf(A) est le plus grand des minorants, que $\ge 0$

En prenant n=1
$lim⁡m→+∞nnm+1=lim⁡m→+∞1m+1=0\displaystyle \lim_{m\to {+\infty}}\dfrac{n}{nm+1}=\lim_{m\to _{+\infty}}\dfrac{1}{m+1}=0$ donc $inf(A)≤0inf(A)\le 0$
Bilan :
$0≤inf(A)≤00\le inf(A) \le 0$ donc $inf(A)=0\fbox{inf(A)=0}$

Merciii beaucoup @mtschoon! !
Grâce à vous j'ai compris!
Merci merci

De rien @sui
Très contente d'avoir pu t'éclairer.