limite d'une suite avec la définition

salut tout le monde,
j'ai besoin de votre aide pour montrer que cette limite tend vers 0 avec la définition
$un=2(n)+3n2+5n+1u_n=\frac{2\sqrt(n)+3}{n^2+5n+1}$
Merci

Bonjour abdo111,

J'ai modifié l'écriture de $U_n$ , est-ce correct ?
Le 3 du numérateur n'est pas sous le radical ?

Je suppose que c'est la limite pour $n$ qui tend vers $+∞+\infty$ .
Mets $n\sqrt n$ en facteur

$Un=2n+3n2+5n+1U_{n}=\frac{2\sqrt{n}+3}{n^{2}+5n+1}$

@abdo111

Si $n$ tend vers $+∞+\infty$
$u_n$ tend vers $2nn2\dfrac {2\sqrt n}{n^2}$ soit $2nn\dfrac{2}{n\sqrt n}$

qui tend vers ....

je cherche la limite en utilisant les epsilon.
Merci

@abdo111

Tu veux montrer :
$∀ε\forall \varepsilon$ , $∃\exists$ N $∈N\in\mathbb{N}$ , $∀n\forall n$ $∈N\in\mathbb{N}$
$\geq$ N $\implies$ $∣Un−l∣<ε\vert U_n - l \vert \lt \varepsilon$ ?

oui effectivement

@abdo111 et @Noemi , bonjour,

@abdo111 ,
Tu cherches à prouver la limite par la définition avec "epsilon"

$∣Un−0∣<ϵ|U_n-0| \lt \epsilon$ <=> $∣Un∣<ϵ|U_n| \lt \epsilon$ <=> $\fbox{U_n \lt \epsilon}$ vu que $U_n$ est une suite à termes positifs

Je t'indique une piste possible.

Si tu cherches à appliquer directement la définition à $U_n$ , c'est mission quasiment impossible avec cette suite.
(en transformant, je suis arrivée à une inéquation du 4ème degré impraticable)

La seule façon , pour cette suite, est de la majorer par une suite $V_n$ simple, dont la limite est 0 et pour laquelle tu pourras appliquer la définition avec epsilon.
Par transitivité de la relation $<\lt$ , tu obtiendras $\fbox{U_n\le V_n \lt \epsilon}$

Tu peux prendre une suite $V_n$ de ton choix.

Pour cela, tu majores le numérateur de $U_n$ et tu minores son dénominateur (ainsi, $U_n$ sera majorée)

Par exemple,
$n+3≤3n+3\sqrt n +3 \le 3n+3$ (c'est évident, mais s'il s'agit d'un DM, tu le justifies)
$n2+5n+1≥n2+2n+1n^2+5n+1 \ge n^2+2n+1$ (c'est évident, mais s'il s'agit d'un DM, tu le justifies aussi )

Soit $Vn=3n+3n2+2n+1=3(n+1)(n+1)2=3n+1V_n=\dfrac{3n+3}{n^2+2n+1}=\dfrac{3(n+1)}{(n+1)^2}=\dfrac{3}{n+1}$

$Un≤VnU_n\le V_n$

Soit $ϵ>0\epsilon \gt 0$
Tu cherches N naturel tel que , pour $n≥Nn\ge N$ , $Vn<ϵV_n\lt \epsilon$

$Vn<ϵV_n\lt \epsilon$ <=> $3n+1<ϵ\dfrac{3}{n+1}\lt \epsilon$ <=> $\gt \dfrac{3}{\epsilon}-1$

Te peux prendre $\fbox{N=E\biggl(\dfrac{3}{\epsilon}\biggl)}$ (E est la partie entière)

Il te reste à tirer la la conclusion souhaitée.

merci infiniment, c'est clair

De rien @abdo111 .
Cette question était intéressante mais pas évidente .