Les côtés d'un triangle sont trois nombres entiers consécutifs et la surface est 84m. Trouver ces trois nombres


  • Sam Kara

    Les côtés d'un triangle sont trois nombres entiers consécutifs et la surface est 84m. Trouver ces trois nombres


  • mtschoon

    @Sam-Kara ,

    Tu as dû avoir un problème pour poser ta question car il a fallu que je recopie l'énoncé du titre.

    En plus, ici un signe de politesse est indispensable ( bonjour, bonsoir, par exemple)
    Pense-y la prochaine fois.

    Une piste pour avoir un lien direct entre les côtés d'un triangle et l'aire :

    Formule de Héron.

    Soit a,b,c les côtés d'un triangle p le demi-périmètre, S l'aire

    S=p(p−a)(p−b)(p−c)\boxed{S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}S=p(pa)(pb)(pc)

    On peut poser a=n−1a=n-1a=n1, b=nb=nb=n, c=n+c=n+c=n+1 et S=84S=84S=84

    p=n+n−1+n+12=32np=\dfrac{n+n-1+n+1}{2}=\dfrac{3}{2}np=2n+n1+n+1=23n

    En remplaçant dans la formule de Héron, on obtient une équation d'inconnue n que l'on peut arriver à résoudre, en faisant quelques transformations.

    Tiens nous au courant de tes avancées si besoin.


  • Casebas
    Plombier


  • B

    Bonjour,

    Si on ne connait pas Heron, on peut s'en tirer uniquement avec Pythagore et quelques calculs élémentaires.

    text alternatif

    Sur mon dessin : (triangle de cotés (n-1), n et (n+1)) , h est la hauteur du triangle aboutissant sur le coté (n+1)
    x est la distance entre le pied de la hauteur et le coté (n-1)

    (n-1)² = h² + x² (Pythagore)
    n² = h² + (n+1-x)² Pythagore

    On élimine h² entre ces 2 équations et on arrive facilement à x = (n²+2)/(2.(n+1))

    On remet cette valeur de x dans (n-1)² = h² + x² et on en tire l'expression de h en fonction de n, on arrive à :

    h=4(n2−1)2−(n2+2)22(n+1)h = \frac{\sqrt{4(n^2-1)^2-(n^2+2)^2}}{2(n+1)}h=2(n+1)4(n21)2(n2+2)2

    S = (n+1)*h/2 = 84

    Simplification et élever au carré donne :
    3n^4 - 12n^2 - 112896 = 0

    Equation bicarrée, dont on trouve aisément la seule racine entière positive ...


  • B

    Désolé , mon lien d'mage a foiré :

    Le voici en clair : https://zupimages.net/up/19/45/k837.gif