4. Dm congruence et division euclidienne

Dm congruence et division euclidienne

  • A

    Bonjour,
    Je dois realiser un dm mais je bloque sur un exercice qu'on n'a pas vu en classe voici la question:
    On souhaite déterminer les valeurs de l'entier naturel n telles que le nombre 4^n -3^n soit divisible par 11.
    1)Déterminer une valeur k telle que 4^n+k -3^n+k aient le meme reste dans la division euclidienne par 11 quelque soit n. Déterminer toutes les valeurs de n telles que 4^n -3^n soit divisible par 11.(je pense que je dois utiliser les combinaisons linéaires mais j'ignore comment)
    2)En déduire si 4^2015 -3^2015 est divisible par 11.
    3)Pour quelles valeurs de l'entier naturel n : 3×4^n+2 eqt divisible par 11?
    Merci d'avance et bonne journée à tous.

  • mtschoon

    @AKA , bonjour,

    Je n'ai pas clairement compris ce que tu as écrit...peut-être manque-t-il des parenthèses autour de (n+k) ?

    Une piste possible pour répondre à la 1) que tu adaptes à ton énoncé.
    Pour les valeurs successives de n (0,1,2,...) tu calcules le reste r de la division de 4n4^n4n par 11 et le reste r' de la division de de 3n3^n3n par 11 .

    Tu dois trouver une période (de valeur 5) , d'où seulement 5 cas :
    n=5K , n=5K+1, n=5K+2, n=5K+3 et n=5K+4

    Je te donne des résultats mais vérifie les .
    modulo.jpg

    r=r' pour n=5K c'est à dire n multiple de 5
    Dans ce cas, avec la propriété des congruences relative à la différence, le reste de la division de 4n−3n4^n-3^n4n−3n par 11 est r-r'=0, c'est à dire 4n−3n4^n-3^n4n−3n divisible par 11.

    Les questions qui suivent sous des conséquences de cette question.

  • mtschoon

    @AKA ,

    Quelques pistes pour la 2)et la 3) si besoin

    2015=5×4032015=5\times 4032015=5×403 donc 2015 est multiple de 5

    Grace au résultat de la 1), la conclusion est directe.

    Tu utilises les propriétés des congruences , en utilisant le travail fait à la question 1) sur 4n4^n4n
    (5 cas à voir)
    1er cas : n=5K
    4n≡14^n\equiv 14n≡1 [11]
    donc
    3.4n≡33.4^n\equiv 33.4n≡3 [11]
    3.4n+2≡53.4^n+2\equiv 53.4n+2≡5 [11]

    Tu traites ainsi les 4 autres cas et la solution sera le cas où
    3.4n+2≡03.4^n+2\equiv 03.4n+2≡0 [11]

    Bon travail .

    A 1 réponse
  • A

    @mtschoon Bonjour,
    Je vous remercie beaucoup de votre aide, grâce à vous j'ai pu comprendre cet exercice. Pour la question 3 j'ai trouvé que 4^n × 3 +2 est divisible par 11 pour tout n=4+5k j'ai essayé pour cetaines valeurs et ça fonctionne. Qu'en pensez-vous? Encore une fois merci passez une excellente soirée.
    Cordialement.

  • mtschoon

    @AKA , bonsoir.
    C'est bien ça pour la 3). Tu maîtrises bien.
    Contente de t'avoir aidé ☺

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