DM maths complexes equation cercle


  • S

    Bonjour, j’ai un exercice à faire sur les complexes or je bloque à la dernière question
    Voici le sujet:
    Le plan est rapporté au repère orthonormal (o;u;v vecteurs)
    A tout point M d’affixe z=x+iy avec x,y deux reels. On associe le point M’ d’affixe z′=5z−2z−1z'=\dfrac{5z-2}{z-1}z=z15z2 pour z≠1z \ne 1z=1

    1. déterminer la force algébrique de z’ en fonction de x et y
      J’ai trouvé
      z′=5x2−7x+5y2−3iy+2(x−1)2+y2z'=\dfrac{5x^2-7x+5y^2-3iy+2}{(x-1)^2+y^2}z=(x1)2+y25x27x+5y23iy+2
      (faute de frappe supprimée)
      X=Re(z′)=5x2−7x+5y2+2(x−1)2+y2X=Re(z')=\dfrac{5x^2-7x+5y^2+2}{(x-1)^2+y^2}X=Re(z)=(x1)2+y25x27x+5y2+2
      et
      Y=im(z′)=−3y(x−1)2+y2Y=im(z')=\dfrac{-3y}{(x-1)^2+y^2}Y=im(z)=(x1)2+y23y
    2. determiner l’ensemble (G) des points M tel que z’ est reel
      J’ai donc fait im(z’)=0 et j’ai obtenu y=3

    3)a) montrer que
    z+zˉ′=10zzˉ−7(z+zˉ)+4(z−1)(zˉ−1)z+\bar z'=\dfrac{10z\bar{z}-7(z+\bar{z})+4}{(z-1)(\bar{z}-1)}z+zˉ=(z1)(zˉ1)10zzˉ7(z+zˉ)+4

    J’ai réussi à le démontrer en faisant z+zˉz+\bar zz+zˉ
    3)b) en déduire que z’ est un imaginaire pur si et ssi M est point d’un cercle de centre (0,7;0) et de rayon 0,3
    J’ai commencé par faire re(z’) = 0
    J’ai donc repris 5x2−7x+5y2+2(x−1)2+y2=0\dfrac{5x^2-7x+5y^2+2}{(x-1)^2+y^2}=0(x1)2+y25x27x+5y2+2=0 soit 5x2−7x+5y2+2=05x^2-7x+5y^2+2=05x27x+5y2+2=0
    et ensuite je bloque

    (Formules re-écrites en Latex par la modération)


  • mtschoon

    @shana67 , bonjour,

    Oui pour tes premières réponses

    Une piste pour la 3)b)
    L'énoncé t'indique "en déduire"
    Il faut donc utiliser la 3)a)

    z' imaginaire pur <=> z′+z′‾=0z'+\overline{z'}=0z+z=0

    Tu utilises la formule trouvée au 3)a)

    Avec la condition dénominateur non nul, si j'ai bien lu, cela équivaut à :

    10zzˉ−7(z+zˉ)+4=010z\bar{z} -7(z+\bar z)+4=010zzˉ7(z+zˉ)+4=0
    Regarde les propriétés de ton cours .
    Cela se traduit par :
    10(x2+y2)−14x+4=010(x^2+y^2)-14x+4=010(x2+y2)14x+4=0

    En divisant par 10 , tu reconnais l'équation d'un cercle dont tu dois trouver centre et rayon.

    Ensuite, il faut que tu vérifies que la condition "dénominateur non nul" est réalisée ou pas.

    Reposte si besoin.


  • S

    @mtschoon
    Je ne comprend pas pourquoi on utilise cette formule la ?
    Pourquoi z’ serait imaginaire pur si z’+z’barre=0


  • mtschoon

    @shana67 ,

    Il faut utiliser z′+zˉ′z'+\bar z'z+zˉ pour pouvoir utiliser la question 3)a) comme demandé par l'énoncé.

    Soit z'=X+iY
    je t'explique pourquoi z′+zˉ′=0z'+\bar z'=0z+zˉ=0 équivaut à "z'imaginaire pur".
    Soit :
    z′=X+iYz'=X+iYz=X+iY
    zˉ′=X−iY\bar z'=X-iYzˉ=XiY
    donc z′+zˉ′=2Xz'+\bar z'=2Xz+zˉ=2X

    z' imaginaire pur <=> X=0 <=> 2X=0 <=> $\fbox{z'+\bar z'=0}$

    Evidemment, si cela n'avait pas été demandé par l'énoncé, ce que tu as écrit est juste et revient exactement au même :
    5x2−7x+5y2+2=05x^2-7x+5y^2+2=05x27x+5y2+2=0.
    En divisant par 5 tu obtiens l'expression usuelle de l'équation d'un cercle dont tu cherches centre et rayon.

    $\fbox{x^2-1.4x+y^2+0.4=0}$

    Pour faire apparaître centre et rayon, tu transformes

    (x−0.7)2−0.72+y2+0.4=0(x-0.7)^2-0.7^2+y^2+0.4=0(x0.7)20.72+y2+0.4=0

    (x−0.7)2+y2=0.09(x-0.7)^2+y^2=0.09(x0.7)2+y2=0.09

    On peut écrire :

    $\fbox{(x-0.7)^2+(y-0)^2=0.3^2}$

    Tu tires la conclusion.


  • B

    Bonjour,

    Faute de frappe dans ta réponse 1, le "-7y" DOIT être (-7x).

    Et l'énoncé est "tendancieux" pour la question 3b

    Dans le cas où le point M aurait l'affixe 1 (1 + 0*i), il appartiendrait bien au cercle de centre (0,7 ; 0) et de rayon 0,3 ...
    MAIS ce point ne convient pas, car pour ce point M, z' n'existe pas (on ne peut pas diviser par zéro)


  • mtschoon

    @shana67 ,
    J'espère que tu as tiré la conclusion à la question 3)b)
    L'ensemble des points M cherché est le cercle de centre I (0,7;0) et de rayon 0,3 privé du point A(1,0)
    .cercle.jpg


  • S

    @mtschoon
    J’ai repris’le calcul et c’est bon la seule chose que je ne comprend pas c pourquoi on divise par 10 apres avoir factorisé ?


  • mtschoon

    @shana67 ,

    En repère orthonormé, la forme usuelle de l'équation d'un cercle de centre I(a,b) et de rayon R est
    $\fbox{(x-a)^2+(y-b)^2=R^2}$ c'est à dire $\fbox{x^2+y^2-2ax-2by+a^2+b^2-R^2=0}$

    Il est donc commode , pour une équation qui débute par 10x2+10y210x^2+10y^210x2+10y2 de diviser par 10 pour obtenir l'équation équivalente qui débute par x2+y2x^2+y^2x2+y2 et se ramener à la forme usuelle de l'équation d'un cercle (et reconnaître le centre et le rayon du cercle).

    Bon travail !


  • B

    Bonjour,

    Remarque déjà faite ... qui jadis aurait valu un carton rouge (mais la rigueur se perd).

    "L'ensemble des points M cherché est le cercle de centre I (0,7;0) et de rayon 0,3 privé du point A."

    Ah bon ? Et le point M(1 ; 0) fait partie aussi de l'ensemble cherché ???????


  • mtschoon

    Bonjour @Black-Jack,

    Tout à fait d'accord que l'énoncé du 3)b) est tout à fait tendancieux vu que l'on travaille non sur l'ensemble C des complexes, mais seulement sur l'ensemble C-{1} (car z≠1z\ne 1z=1 c'est à dire (x,y)≠(1,0)(x,y)\ne(1,0)(x,y)=(1,0))

    Mais ce n'est pas la préoccupation de shana67 car son problème est de trouver le cercle avec centre et rayon. C'est cela qu'il faut lui expliquer le mieux possible.