DM maths complexes equation cercle



  • Bonjour, j’ai un exercice à faire sur les complexes or je bloque à la dernière question
    Voici le sujet:
    Le plan est rapporté au repère orthonormal (o;u;v vecteurs)
    A tout point M d’affixe z=x+iy avec x,y deux reels. On associe le point M’ d’affixe z=5z2z1z'=\dfrac{5z-2}{z-1} pour z1z \ne 1

    1. déterminer la force algébrique de z’ en fonction de x et y
      J’ai trouvé
      z=5x27x+5y23iy+2(x1)2+y2z'=\dfrac{5x^2-7x+5y^2-3iy+2}{(x-1)^2+y^2}
      (faute de frappe supprimée)
      X=Re(z)=5x27x+5y2+2(x1)2+y2X=Re(z')=\dfrac{5x^2-7x+5y^2+2}{(x-1)^2+y^2}
      et
      Y=im(z)=3y(x1)2+y2Y=im(z')=\dfrac{-3y}{(x-1)^2+y^2}
    2. determiner l’ensemble (G) des points M tel que z’ est reel
      J’ai donc fait im(z’)=0 et j’ai obtenu y=3

    3)a) montrer que
    z+z¯=10zz¯7(z+z¯)+4(z1)(z¯1)z+\bar z'=\dfrac{10z\bar{z}-7(z+\bar{z})+4}{(z-1)(\bar{z}-1)}

    J’ai réussi à le démontrer en faisant z+z¯z+\bar z
    3)b) en déduire que z’ est un imaginaire pur si et ssi M est point d’un cercle de centre (0,7;0) et de rayon 0,3
    J’ai commencé par faire re(z’) = 0
    J’ai donc repris 5x27x+5y2+2(x1)2+y2=0\dfrac{5x^2-7x+5y^2+2}{(x-1)^2+y^2}=0 soit 5x27x+5y2+2=05x^2-7x+5y^2+2=0
    et ensuite je bloque

    (Formules re-écrites en Latex par la modération)


  • Modérateurs

    @shana67 , bonjour,

    Oui pour tes premières réponses

    Une piste pour la 3)b)
    L'énoncé t'indique "en déduire"
    Il faut donc utiliser la 3)a)

    z' imaginaire pur <=> z+z=0z'+\overline{z'}=0

    Tu utilises la formule trouvée au 3)a)

    Avec la condition dénominateur non nul, si j'ai bien lu, cela équivaut à :

    10zz¯7(z+z¯)+4=010z\bar{z} -7(z+\bar z)+4=0
    Regarde les propriétés de ton cours .
    Cela se traduit par :
    10(x2+y2)14x+4=010(x^2+y^2)-14x+4=0

    En divisant par 10 , tu reconnais l'équation d'un cercle dont tu dois trouver centre et rayon.

    Ensuite, il faut que tu vérifies que la condition "dénominateur non nul" est réalisée ou pas.

    Reposte si besoin.



  • @mtschoon
    Je ne comprend pas pourquoi on utilise cette formule la ?
    Pourquoi z’ serait imaginaire pur si z’+z’barre=0


  • Modérateurs

    @shana67 ,

    Il faut utiliser z+z¯z'+\bar z' pour pouvoir utiliser la question 3)a) comme demandé par l'énoncé.

    Soit z'=X+iY
    je t'explique pourquoi z+z¯=0z'+\bar z'=0 équivaut à "z'imaginaire pur".
    Soit :
    z=X+iYz'=X+iY
    z¯=XiY\bar z'=X-iY
    donc z+z¯=2Xz'+\bar z'=2X

    z' imaginaire pur <=> X=0 <=> 2X=0 <=> z+z¯=0\fbox{z'+\bar z'=0}

    Evidemment, si cela n'avait pas été demandé par l'énoncé, ce que tu as écrit est juste et revient exactement au même :
    5x27x+5y2+2=05x^2-7x+5y^2+2=0.
    En divisant par 5 tu obtiens l'expression usuelle de l'équation d'un cercle dont tu cherches centre et rayon.

    x21.4x+y2+0.4=0\fbox{x^2-1.4x+y^2+0.4=0}

    Pour faire apparaître centre et rayon, tu transformes

    (x0.7)20.72+y2+0.4=0(x-0.7)^2-0.7^2+y^2+0.4=0

    (x0.7)2+y2=0.09(x-0.7)^2+y^2=0.09

    On peut écrire :

    (x0.7)2+(y0)2=0.32\fbox{(x-0.7)^2+(y-0)^2=0.3^2}

    Tu tires la conclusion.


  • Modérateurs

    Bonjour,

    Faute de frappe dans ta réponse 1, le "-7y" DOIT être (-7x).

    Et l'énoncé est "tendancieux" pour la question 3b

    Dans le cas où le point M aurait l'affixe 1 (1 + 0*i), il appartiendrait bien au cercle de centre (0,7 ; 0) et de rayon 0,3 ...
    MAIS ce point ne convient pas, car pour ce point M, z' n'existe pas (on ne peut pas diviser par zéro)


  • Modérateurs

    @shana67 ,
    J'espère que tu as tiré la conclusion à la question 3)b)
    L'ensemble des points M cherché est le cercle de centre I (0,7;0) et de rayon 0,3 privé du point A(1,0)
    .cercle.jpg



  • @mtschoon
    J’ai repris’le calcul et c’est bon la seule chose que je ne comprend pas c pourquoi on divise par 10 apres avoir factorisé ?


  • Modérateurs

    @shana67 ,

    En repère orthonormé, la forme usuelle de l'équation d'un cercle de centre I(a,b) et de rayon R est
    (xa)2+(yb)2=R2\fbox{(x-a)^2+(y-b)^2=R^2} c'est à dire x2+y22ax2by+a2+b2R2=0\fbox{x^2+y^2-2ax-2by+a^2+b^2-R^2=0}

    Il est donc commode , pour une équation qui débute par 10x2+10y210x^2+10y^2 de diviser par 10 pour obtenir l'équation équivalente qui débute par x2+y2x^2+y^2 et se ramener à la forme usuelle de l'équation d'un cercle (et reconnaître le centre et le rayon du cercle).

    Bon travail !


  • Modérateurs

    Bonjour,

    Remarque déjà faite ... qui jadis aurait valu un carton rouge (mais la rigueur se perd).

    "L'ensemble des points M cherché est le cercle de centre I (0,7;0) et de rayon 0,3 privé du point A."

    Ah bon ? Et le point M(1 ; 0) fait partie aussi de l'ensemble cherché ???????


  • Modérateurs

    Bonjour @Black-Jack,

    Tout à fait d'accord que l'énoncé du 3)b) est tout à fait tendancieux vu que l'on travaille non sur l'ensemble C des complexes, mais seulement sur l'ensemble C-{1} (car z1z\ne 1 c'est à dire (x,y)(1,0)(x,y)\ne(1,0))

    Mais ce n'est pas la préoccupation de shana67 car son problème est de trouver le cercle avec centre et rayon. C'est cela qu'il faut lui expliquer le mieux possible.