cylindre inscrit dans une sphère

Dans une sphère de rayon R ,on inscrit un cylindre de hauteur h .
Les deux bases du cylindre sont des cercles de la sphère de rayon r.

Pour quelle valeur de h le volume est-il maximal?

pouvez-vous m'aidez svp?

Bonjour ariel, (Marque de politesse à ne pas oublier !!)

Je suppose que l'on cherche le volume maximal du cylindre.
Il faut exprimer le volume en fonction de la hauteur $h$ .
Comme : $\pi r^2h$ .
Il reste à exprimer $r$ en fonction de $h$ et $R$ .
Un schéma et la propriété de Pythagore.

c'est ca la formule?

quelqu'un pour m'aider s'il vous plait

@ariel , bonsoir,

Je te joins une figure en coupe.
Le disque correspond au cercle de centre A de de rayon R
Le cylindre correspond au rectangle BCDE
L'axe du cylindre est (FG)
A est le milieu de [FG]
EF=r
EA=R
AF=h/2

Piste pour démarrer,

Applique le théorème de Pythagore dans le triangle AEF rectangle en F

EA²=EF²+FA²

$R2=r2+(h2)2R^2=r^2+(\dfrac{h}{2})^2$

@ariel

Dans la formule du volume en utilisant la relation donnée par mtschoon tu remplaces $r^2$ par son expression en fonction de $h$ et $R$ .
Tu cherches ensuite la valeur de $h$ qui correspond au maximum de la fonction.

comment faire cela ?

@ariel

Commence par écrire l'expression du volume en fonction de $h$ et $R$ :
$V = . . . . . .$

V= piR^2h Mais je cherches le volume maximal

@ariel

Je n'ai pas écrit de faire un calcul mais juste d'écrire l'expression :
$\pi r^2 h$ et tu remplaces $r^2$ par $R2−(h2)2R^2 - (\dfrac{h}{2})^2$
Soit $V = . . . . .$

V=piR^2-(h/2)^2h c'est bon?

@ariel

Il manque des parenthèses.
$\pi (R^2 -(\dfrac{h}{2}^2))h$

ok et après je fait quoi ?

@ariel

Tu étudies cette fonction pour déterminer son maximum.

Comment étudies tu les variations d'une fonction ?
Calcul de la dérivée ou taux de variation ?

comment étudie-t'on le maximum?

@ariel

Cherche les variations de la fonction.

je vais essayer de calculer la dérivée:
V= 2piR-2(h/2)*2 c'est bon

@ariel
Non
$\pi R^2 - \pi \times \dfrac{3}{4}h^2$

Résous $V^{'} (h) = 0$ .

Tu peux m'expliquer comment t'a abouti a ce résultat?

$\pi (R^2 -(\dfrac{h}{2}^2))h$ . On développe

$\pi R^2h - \pi \dfrac{h}{4}^3$
et tu dérives chaque termes, la variable est $h$ .

ok merci après cela quesceque je fais?

@ariel

Tu résous $V^{'} (h) = 0$ .
Puis tu étudies le signe de la dérivée et tu dresses le tableau de variations.

pourquoi V'(h)= piR^2-pi3/4h^2

@ariel ,
Si c'est le calcul de la dérivée qui te pose problème,

$V(h)=πR2h−π4h3V(h)=\pi R^2h-\dfrac{\pi}{4}h^3$

h est la variable.
Dans ton cours, j'imagine que la variable s'appelle x
Pense donc que h=x, c'est à dire que
$V(x)=πR2x−π4x3V(x)=\pi R^2x-\dfrac{\pi}{4}x^3$

$πR2\pi R^2$ joue le rôle de constante vu que la variable est x
La dérivée de x est 1
Regarde ton cours sur les propriétés : la dérivée de $πR2x\pi R^2 x$ est donc $πR2×1=πR2\pi R^2 \times 1=\pi R^2$

De même, $π4\dfrac{\pi}{4}$ joue le rôle de constante vu que la variable est x
La dérivée de $x^3$ est $3x^2$
Donc la dérivée de $π4x3\dfrac{\pi}{4}x^3$ est $π4×3x2\dfrac{\pi}{4} \times 3x^2$

La dérivée d'une différence est la différence des dérivées

$V′(x)=πR2−3π4x2V'(x)=\pi R^2-\dfrac{3\pi}{4}x^2$

J'ai utilisé la notation x usuelle pour te faire comprendre, mais ton exercice, utilise seulement la notation h

$V′(h)=πR2−3π4h2\boxed{V'(h)=\pi R^2-\dfrac{3\pi}{4}h^2}$

C'est ce que t'a indiqué Noemi.

A partir de la dérivée, tu détermines son signe puis le tableau de variations comme fait dans l'autre exercice.

mais comment étudier le signe avec un résultat pareil?-_-'

Tu résous d'abord $V^{'} (h) = 0$ .

piR^2-pi3/4h^2=0

R^2-3*pi/4h^2=pi

merci pour tout Noémie bonne nuit

$\pi R^2- \pi \dfrac {3h^2}{4}$
$V^{'} (h) = 0$ si $πR2−π3h24=0\pi R^2- \pi \dfrac {3h^2}{4} = 0$

Soit $R2−3h24=0R^2- \dfrac {3h^2}{4} = 0$
On isole l'inconnue $h$
$h2=4R23h^2 = \dfrac {4R^2}{3}$
soit $\dfrac {2\sqrt3}{3} R$ ou $\dfrac {2\sqrt3}{3} R$
Comme $h$ positif, je te laisse conclure.
Ne pas oublier de préciser les variations de la fonction.

Bonjour @Noemi , y a t'il possibilité d'avoir une explication pour le tableau de variation ?

ou alors de votre part @mtschoon

@Maxime-THIERRY , bonsoir,

Pour $h≥0h\ge 0$ ,tu dois étudier le signe de V'(h)
De plus, $h≤2Rh\le 2R$ pour que la construction soit possible.

Vu que h est positif, vu le calcul effectué précédemment ,
$V^{'} (h) = 0$ pour $h=233Rh=\dfrac{2\sqrt 3}{3}R$

Il te reste à chercher pour quelles valeurs de h V'(h) est strictement positif, puis strictement négatif.

$\gt 0$ <=> $πR2−3π4h2>0\pi R^2-\dfrac{3\pi}{4}h^2\gt 0$

$−3π4h2>−πR2-\dfrac{3\pi}{4}h^2 \gt -\pi R^2$

En changeant de signe pour éviter les erreurs (c'est à dire en multipliant par -1)
$3π4h2<πR2\dfrac{3\pi}{4}h^2 \lt \pi R^2$

Tu isoles $h^2$ et tu dois trouver $h2<43R2h^2\lt \dfrac{4}{3}R^2$
Vu que h est positif, en prenant la racine carrée de chaque membre : $h<233Rh\lt \dfrac{2\sqrt 3}{3}R$

Donc : $0≤h<233R0\le h\lt \dfrac{2\sqrt 3}{3}R$ <=> $V′(h)>0V'(h)\gt 0$ donc V croissante.

De même : $h>233Rh\gt \dfrac{2\sqrt 3}{3}R$ <=> $V′(h)<0V'(h)\lt 0$ donc V décroissante.

Tu peux donc faire le tableau de variation pour $h∈[0,2R]h\in [0,2R]$ et tirer la conclusion demandée.

@mtschoon Photo Est ce ça ?

@Maxime-THIERRY ,

Non....

Revois le signe de V'(h) et le sens de variation de V

@mtschoon pouvez vous me montrez en expliquant ?

@Maxime-THIERRY ,

Relis avec soin ma réponse où je t'explique le signe de V'(h) et le sens de variation de V.

@mtschoon je n'arrive pas à le représenter dans un tableau de variation

@mtschoon pouvez vous le faire et qu'on regarde ensemble ?

@Maxime-THIERRY ,

Je recopie ce que je t'ai déjà indiqué :

$0≤h<233R0\le h\lt \dfrac{2\sqrt 3}{3}R$ <=> $V′(h)>0V'(h)\gt 0$ donc V croissante.

De même : $h>233Rh\gt \dfrac{2\sqrt 3}{3}R$ <=> $V′(h)<0V'(h)\lt 0$ donc V décroissante.

cela veut dire que :

Pour h compris entre 0 et $233\dfrac{2\sqrt 3}{3}$ , V'(h) est positive ( signe +) et V est croissante (flèche qui monte)

Pour h compris entre $233\dfrac{2\sqrt 3}{3}$ et $2 R$ , V'(h) est négative ( signe - ) et V est décroissante (flèche qui descent)

Il y a donc un maximum pour h=...

@mtschoon (2 racine carré de 3)/3 ?

@Maxime-THIERRY ,

J'espère que tu as bien compris les erreurs que tu avais faites sur le tableau de variation joint et que tu les as rectifiées.

Oui, le maximum est bien pour $h=233h=\dfrac{2\sqrt 3}{3}$

@Maxime-THIERRY ,

Je te mets le tableau de variation pour vérification éventuelle.
Je te conseille d'approfondir toute la discussion vu que tu n'as posé ta question que sur la fin de la démarche.
Il faut que tu comprennes la totalité.

Dans le tableau de variation, ce que j'ai appelé MAX est $V(233)V(\dfrac{2\sqrt 3}{3})$
Dans l'énoncé écrit, le calcul de cette valeur n'est pas demandé.
text alternatif

Bon travail.