3. Suite et fonction, lien et propriété de a

Suite et fonction, lien et propriété de a

  • B

    Bonjour,

    J'ai un petit soucis sur un exercice assez long, que j'ai presque fini. Voici l'énoncé condensé :

    On note :

    • f(x) = 1+xx(1+x−1)\dfrac{1+x}{x}(\sqrt{1+x}-1)x1+x​(1+x​−1) (ou encore 1+x1+1+x\dfrac{1+x}{1+\sqrt{1+x}}1+1+x​1+x​) définie sur ]0 ; +inf[.

    • g(x) = x3+x2−1x^3 + x^2 -1x3+x2−1, strictement croissante sur définie sur [0 ; +inf[

    • (un)(u_n)(un​) définie par u0=1u_0=1u0​=1 et un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_n)un+1​=f(un​)

    On sait que : f([12;1])⊂[12;1]f([\dfrac{1}{2};1])\subset [\dfrac{1}{2};1]f([21​;1])⊂[21​;1]
    Que donc un⊂[12;1]u_n\subset [\dfrac{1}{2};1]un​⊂[21​;1]
    et que cette dernière (la suite hein) converge en un réel a solution de f(x) = x

    La question finale :
    Montrer que pour tout x de ]0 ; +inf[, f(x)=x  ⟺  g(x)=0f(x) = x \iff g(x) =0f(x)=x⟺g(x)=0, en déduire que a est l'unique solution de l'équation g(x) = 0 dans son intervalle de définition, et donner finalement un encadrement d'amplitude 10−310^{-3}10−3 de a.

    Voila, tout d'abord je ne comprend pas ce signe là "  ⟺  \iff⟺", première fois que je le vois, vraiment aucune idée... et ensuite je vois pas comment faire pour lier les deux fonction entre elle de cette manière.
    Merci beaucoup pour votre aide

  • mtschoon

    @Begeh , bonjour,

    <=> veut dire "équivaut" (peut se traduire par "si et seulement si")

    Il y a une double implication
    implication directe => et implication réciproque <=

    Tu peux faire les deux parties séparément
    f(x)=x => g(x)=0 et g(x)=0 => f(x)=x

    Tu peux aussi raisonner par équivalence logique en veillant bien, à chaque étape, que les égalités soient bien équivalentes.
    C'est plus rapide, mais il faut faire très attention.

    Une piste possible,

    g(x)=0g(x)=0g(x)=0 <=> x3+x2−1=0x^3+x^2-1=0x3+x2−1=0 <=> x3+x2=1x^3+x^2=1x3+x2=1

    g(x)=0g(x)=0g(x)=0 <=> x2(x+1)=1x^2(x+1)=1x2(x+1)=1

    Ensuite, il faut faire attention car, de façon générale,
    a²=b² <=> a=b ou a=-b
    Par contre, si a et b sont strictement positifs, a²=b² <=> a=b

    Ici tu peux donc justifier ( en prenant la racine carrée de chaque membre) que
    g(x)=0g(x)=0g(x)=0 <=>xx+1=1x\sqrt{x+1}=1xx+1​=1

    En ajoutant x à chaque membre :
    g(x)=0g(x)=0g(x)=0 <=>x+xx+1=1+xx+x\sqrt{x+1}=1+xx+xx+1​=1+x

    En mettant x en facteur
    g(x)=0g(x)=0g(x)=0 <=>x(1+x+1)=1+xx(1+\sqrt{x+1})=1+xx(1+x+1​)=1+x

    En divisant chaque membre par (1+1+x)(1+\sqrt{1+x})(1+1+x​) qui est non nul , tu dois obtenir au final
    g(x)=0\fbox{g(x)=0}g(x)=0​ <=>x=f(x)\fbox{x=f(x)}x=f(x)​

    Je pense que tu vois la conséquence à peu près immédiate.
    Pour x=a :
    f(a)=af(a)=af(a)=a <=> g(a)=0g(a)=0g(a)=0 donc...
    Reposte si besoin.

  • mtschoon

    J'espère que tu maintenant terminé ton DM.

    Pour vérification éventuelle, je t'indique l'encadrement que tu as dû trouver pour a.

    A la calculette:
    g(0.754)=-0.0028...
    g(0.755)=+0.00039...

    Donc g(0.754) < 0 < 9(0.755)

    Vu que g(a)=0 , on peut écrire g(0.754) < g(a) < 9(0.755)

    g étant strictement croissante, on ne change pas le sens des inégalités, d'où : 0.754 < a < 0.755

    Conclusion:
    0.754 valeur approchée de a, par défaut, à 10−310^{-3}10−3 près
    0.755 valeur approchée de a, par excès, à 10−310^{-3}10−3 près

    Bon travail.

  • B

    Bonjour, merci pour votre réponse assez rapide et très complète (ça fait plaisir d'avoir enfin quelqu'un qui explique parfaitement bien ce qu'il pense pour que je puisse comprendre 😌 )

    J'ai quand même un ptit soucis : donc pour calculer a, on doit se servir de f(x) = x et g(x) = 0 ? En remplaçant x par a évidemment, mais je dois uniquement me servir de l'un des deux ?

    Après pour l'encadrement d'amplitude 10−310^{-3}10−3 je pense pouvoir m'en sortir seul haha

    En tout cas merci beaucoup, en vous souhaitant une très bonne année 2020 !!

  • mtschoon

    Bonjour @Begeh ,
    Merci pour tes voeux et très bonne année 2020 à toi aussi.☺

    J'essaie d'expliciter où se situe ton "petit soucis"

    Tu as prouvé que la suite (Un)(U_n)(Un​) convergeait vers un réel a solution de f(x)=x.

    g(x)=0 a une unique solution (tu as dû le prouver avec le TVI -cas de la bijection ) .
    Appelons b cette solution unique de g(x)=0

    Vu l'équivalence prouvée entre f(x)=x et g(x)=0 , toute solution de f(x)=x est solution de g(x)=0 et réciproquement.

    Conclusion b=a

    Ensuite, pour trouver les propriétés de a (qui est donc la solution unique de g(x)=0), tu peux utiliser seulement g(x)=0.
    La fonction g a été introduite dans l'énoncé pour cet usage

    B 1 réponse
  • B

    @mtschoon Rebonjour, excuser moi de revenir si tard sur ce sujet, mais je n'ai pas réellement compris comment vous avez trouvez 0,754 et 0,755...

  • mtschoon

    @Begeh, rebonjour,

    J'ai utilisée la calculette .
    Tu peux utiliser un tableur si tu le souhaites.
    Ma calculette (avec la fonction TABLE) me donne :
    g(0.754)=-0.0028...
    g(0.755)=+0.00039,..

    ensuite, je raisonne comme déjà indiqué:

    @mtschoon a dit dans Suite et fonction, lien et propriété de a :

    A la calculette:
    g(0.754)=-0.0028...
    g(0.755)=+0.00039...
    Donc g(0.754) < 0 < 9(0.755)
    Vu que g(a)=0 , on peut écrire g(0.754) < g(a) < 9(0.755)
    g étant strictement croissante, on ne change pas le sens des inégalités, d'où : 0.754 < a < 0.755

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