Problème: Quel est le volume maximal de la poutre?

on a abattu un arbre assimilable à un cone de hauteur 25 m et de diamètre de base 1m. A partir de cer arbre, on veut former une poutre parrallélépipedique de section carrée de longueur $L$ comme indiqué sur les schémas ce-dessous qu'on prendra soin de bien comprendre.

$P r o b l \overset{e}{ˋ} m e : Q u e l e s t l e v o l u m e m a x i m a l d e l a p o u t r e ?$
On propose ici une méthode classique pour résoudre un tel problème. On note $S$ le centre du carrée $A B C D$ et $H$ le milieu de $[M N]$ . On a donc la figure suivante:

$1)$ en applicant le théorème de thales dans le triangle MOH, montrer que l'on a:
$AS=25−L50AS=\dfrac{25-L}{50}$ .
$2)$ montrer que l'aire de $A B C D$ est égale à $2×AS²2\times AS²$
$3)$ On note $V$ la fonction qui à $L$ associe le volume de la poutre.
a) Quel est l'ensemble de définition de $V$ ?
b) Montrer que $V(L)=11250(L3−50L²+625L)V(L)=\dfrac{1}{1250}(L^3-50L²+625L)$ .

Je suis bloquée à la question 3 merci pour votre aide.

Formule Latex modifiée par la modération.

Bonjour nisrine, (Marque de politesse à ne pas oublier !!)

Pour la question 3, $L$ varie de 0 à 25, donc tu peux en déduire l'ensemble de définition de $V$ .
Pour l'écriture de la fonction. C'est l'aire de la base multipliée par la hauteur.

Indique tes calculs si tu souhaites une correction.

bonnjour, merci; l'aire de la base est de $2 * A C$ soit $2$ x $(25 - L / 50)$ multiplié par la hauteur qui est de $25$ cela fait donc $(50 - 2 L / 100)$ x $25$ ce qui fait: $(1250 - 50 L / 100)$ du coup je ne comprend pas comment $V (L)$ correspond à l'aire de la base multipliée par la hauteur

@nisrine

L'aire de la base est $2×AS22\times AS^2$ et la hauteur de la poutre $L$ .

Rectifie les calculs.

@Noemi
alors $V p o u t r e = A a b c d * h$ <=> $2$ x $A S ²$ x $L$ <=> $2$ x $(25 - L / 50) ²$ x $L$ <=>
$2$ x $(625 - L ² / 2500)$ x $L$ = $0.5L-0.0008L^3$

mais en developpant la formule de l'ennoncée , je treouve $V(L)=0.0008L^3-0.04L²+0.5L$

@nisrine

Une erreur dans le développement du carré.
$2×(25−L50)2×L=22500×(L2−50L+625)×L2\times( \dfrac{25-L}{50})^2\times L=\dfrac{2}{2500}\times (L^2-50L+625)\times L$ =
$11250×(L3−50L2+625L)\dfrac{1}{1250}\times (L^3-50L^2+625L)$

@Noemi merciii

@nisrine
Bonjour je bloque sur les dernières question... pouvez-vous m'aider svp.
$4)$ Etudier les variations de $V$ sur son ensemble de définition : ici j'ai calculé $d e l t a$ et je trouve $x 1 = 25 / 3$ et $x 2 = 25$ donc je dresse le tableau ( $V^{'} (L)$ négative puis positive donc $V (L)$ décroissante puis croissante).

$5) @$ En déduire le volume maximal de la poutre. On donnera la valeur exacte puis une valeur approchée.
$(b)$ Quelle est alors la longueur $L$ de la poutre et la longueur de la base du carré ?
merci d'avance.

@nisrine , bonjour,

En attendant que Noemi soit là, je regarde ce que tu indiques à la question 4

Oui, Les valeurs qui annulent la dérivée sont bonnes mais tu as fait des erreurs sur le signe de V'(L)
Regarde ton cours sur le signe d'un polynôme du second degré.

V'(L) s'annule pour 25/3 et pour 25.
a étant le coefficient de x² (donc ici a > 0) entre ces deux valeurs (25/3 et 25) , V'(L) est du signe de -a donc négatif.
A l'extérieur de ces deux valeurs, V'(L) est du signe de a donc positif

Comme tu étudies sur [0, 25] seulement :
sur $[0,253[\biggr[0,\dfrac{25}{3}\biggr[$ , $\gt 0$ donc V croissante

sur $]253,25[\biggr]\dfrac{25}{3}, 25\biggr[$ , $\lt 0$ donc V décroissante.

Tu fais le tableau de variation de V sur $[0,25]\biggr[0,25\biggr]$
Tu en déduis le maximum demandé.

Reposte si besoin.

@mtschoon bonsoir mercii beaucoup je partais sur une fausse piste j'ai pu rectifié mon tableau

@nisrine

Tu as terminé l'exercice ?

Bonjour,

Il semble que @nisrine a fini son exercice.

Pour vérification éventuelle, voici le tableau de variation avec maximum indiqué :