Cercle trigonométrique et produit scalaire


  • M

    bonjour mon énonce est: sur un cercle trigonométrique de centre O on place les points A et B associé a pi/4 et pi/3
    en calculant de DEUX manières le produit scalaire de OAxOB determiner la valeur de cos pi/12
    je pensais pour calculer le produit scalaire d'utiliser la formule dans un repère mais l'autre manière je sais pas et j'aimerai savoir comment calculer cette valeur de cos pi/12
    merci dans l’attente de votre réponse


  • N
    Modérateurs

    Bonjour mousaka,

    Ecris les formules pour le produit scalaire.
    OA→.OB→=.....\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}= .....OA.OB=.....


  • M

    mais je sais pas quelle formule utiliser justement


  • N
    Modérateurs

    OA→.OB→=OA×OB×cos(OA→,OB→)\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}= OA\times OB\times cos (\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB})OA.OB=OA×OB×cos(OA,OB)


  • M

    peut etre que OAOB=xx'yy'


  • N
    Modérateurs

    La deuxième est bien :
    OA→.OB→=xx′+yy′\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}= xx'+yy'OA.OB=xx+yy


  • M

    du coup la formule dans le plan serait la seconde manière ?

    Et es ce que pi/4 et pi/3 serait la longueur OA et OB ?


  • N
    Modérateurs

    Non,

    Les points A et B sont sur le cercle trigonométrique donc OA = OB = 1

    L'angle (OA→,OB→)=π3−π4=...(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB})= \dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{4} = ...(OA,OB)=3π4π=...


  • mtschoon

    Bonjour @Noemi et @mousaka

    @mousaka , je t'explicite un peu plus l'idée de l'énoncé vu que tu n'as pas l'air d'avancer.

    Schéma :
    cercle.jpg

    Si tu lis les indications données par @Noemi , tu as tout ce qu'il faut pour aboutir.

    Avec la première façon :
    OA→.OB→=OA×OB×cos(π12)\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}= OA\times OB\times cos(\dfrac{\pi}{12})OA.OB=OA×OB×cos(12π)
    ( Comprends pourquoi π12)\dfrac{\pi}{12} )12π)

    Donc
    OA→.OB→=1×1×cos(π12)=cos(π12)\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=1\times 1\times cos(\dfrac{\pi}{12})=\boxed{cos(\dfrac{\pi}{12})}OA.OB=1×1×cos(12π)=cos(12π)

    Avec la seconde façon:
    OA→.OB→=XX′+YY′\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=\boxed{XX'+YY'}OA.OB=XX+YY

    D'où cos(π12)=XX′+YY′\boxed{cos(\dfrac{\pi}{12})={XX'+YY'}}cos(12π)=XX+YY

    Il te reste donc à calculer XX′+YY′XX'+YY'XX+YY

    X=xA−xO=cos(π4)−0=cos(π4)=22X=x_A-x_O=cos(\dfrac{\pi}{4})-0=cos(\dfrac{\pi}{4})=\dfrac{\sqrt 2}{2}X=xAxO=cos(4π)0=cos(4π)=22

    X′=xB−xO=cos(π3)−0=cos(π3)=12X'=x_B-x_O=cos(\dfrac{\pi}{3})-0=cos(\dfrac{\pi}{3})=\dfrac{1}{2}X=xBxO=cos(3π)0=cos(3π)=21

    Y=..................Y=..................Y=.................. (à faire)

    Y′=.................Y'=.................Y=................. (à faire)

    Tu pourras ainsi tirer la conclusion sur la valeur exacte de cos(π12)cos(\dfrac{\pi}{12})cos(12π)

    Tiens nous au courant si tu as besoin.


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