Probleme application à la dérivation

Bonjour je dois faire ce problème mais je ne comprends pas certaines questions.

Une boîte sans couvercle a la forme d’un parallélépipède rectangle. Sa base est un carré de côté x (exprimé en mètre) avec x>0. Le volume de la boîte est égal à 10 m^3
.
La base est fabriquée à l’aide d’un matériau qui coûte 5 € par mètre carré, tandis que les faces latérales sont construites à l’aide d’un matériau qui coûte 2 € par mètre carré.
On note h la hauteur de la boîte et C le coût de fabrication d’une boîte.
1_Exprimer h en fonction de x
J'ai trouvé h=10/x^2
2_Montrer que, pour tout x>0,
C(x)=(5*(x^3+16))/x
3_on note C' la fonction dérivée de C. Montrer que, pour tout x>0
C'(x)=(10(x^3 - 8))/x^2

4_Etudier les variations de la fonction C puis trouver les dimensions de la boîte pour lesquelles le coût de fabrication est minimal.

S'il vous plaît aidez moi

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@Lana-Bouteiller

@Lana-Bouteiller
Bonjour,

Sache déjà que ta réponse à la question 1) est exacte. Bon début

Je suppose que tu n'as pas réussi à démontrer les expressions des questions 2) et 3).

Pour la 2), je te conseille de faire un dessin et de reporter les longueurs : par de simples calculs des aires des faces et en les additionnant toutes les 5, après mise au même dénominateur, réduction et simplification, tu arriveras sans trop de difficulté à l'expression souhaitée.

Pour la 3), il faut que tu utilises la formule de dérivation d'une fonction quotient, la fameuse :
$(uv)′=u′v−uv′v2\left( \frac{u}{v} \right)'= \frac{u'v-uv'}{v^2}$ .
Pour cela il te faudra poser $u(x)=5 ( x^3 + 16)$ et $v (x) = x$ .

Pour la 4), il faudra que tu étudies le signe de $C^{'} (x)$ . On sait déjà que son dénominateur est strictement positif en tant que carré d'une expression non nulle, mais son numérateur est plus délicat car il s'agit d'un polynôme de degré 3. Tu as donc deux méthodes possibles :

La méthode rapide : tu pars de ce que tu sais sur les variations de la fonction cube, et tu résous l'équation $x^3-8 =0$ . Avec ces deux informations, tu connaîtras le signe de $x^3-8$ selon les valeurs de $x$ .
La méthode un peu bourrine dans ce cas-là mais toujours efficace : tu dérives l'expression $x^3-8$ , tu étudies le signe de sa dérivée, tu en déduis les variations de $x^3-8$ et tu résous l'équation $x^3-8=0$ (au pire, tu peux le faire grâce au TVI si tu ne sais pas la résoudre).

Pour la 5), si tu as bien répondu à la question 4), tu n'auras pas de problème à déterminer le minimum de la fonction $C$ .

Voilà, tu as tout ce qu'il te faut ! N'hésite pas à poster tes résultats si tu souhaites des corrections. Bonne soirée.

@Guillaume-87
Merci pour la réponse !
Les explications sont très claires et mon beaucoup aider.
Seulement je bloque vraiment pour la question 2 je ne sais pas pourquoi mais il doit y avoir quelque chose de faux dans mon raisonnement mais je n'arrive pas à obtenir le résultat souhaité pourriez m'aider ?

@Lana-Bouteiller a dit dans Probleme application à la dérivation :

@Guillaume-87
Merci pour la réponse !
Les explications sont très claires et mon beaucoup aider.
Seulement je bloque vraiment pour la question 2 je ne sais pas pourquoi mais il doit y avoir quelque chose de faux dans mon raisonnement mais je n'arrive pas à obtenir le résultat souhaité pourriez m'aider ?

Salut,

Quelle est l'aire en m² de la base de la boîte (en fonction de x) ?
Quel est le coût de fabrication de la base en fonction de x (sachant que cela coûte 5 € par m²) ?
Quelle est l'aire latérale de la boîte (en fonction de x) ?
Quel est le coût de fabrication des coté de la boîte en fonction de x (sachant que cela coûte 2 € par m²) ?

Quel est alors le coût total (pour l'ensemble de la base et les cotés) en fonction de x ?

@Lana-Bouteiller , bonjour,

@Guillaume-87 t'a très bien expliqué.

En attendant qu'il passe par là, je regarde la question 2)
Surface de la base : $x^2$
Coût de la base : $5x^2$

Surface de chaque côté latéral: $h×x=10x2×x=10xh\times x=\dfrac{10}{x^2}\times x=\dfrac{10}{x}$

Donc:
Surface des 4 côtés latéraux : $40x\dfrac{40}{x}$
Coût des 4 côtés latéraux : $2×40x=80x2\times\dfrac{40}{x}=\dfrac{80}{x}$

Tu ajoutes ces côuts et tu dois obtenir le bon résultat.

@Black-Jack merci beaucoup ses questions m'ont beaucoup aidées !

@mtschoon merci beaucoup pour l'explication !

De rien @Lana-Bouteiller et reposte si tu as besoin.