Barycentre DM finition

Bonjour,

J'ai un DM de math à faire pour dans une semaine et je l'ai commencé.
J'ai pas rencontré de grande difficulté mais je sens qu'à certains endroits ça pourrait être mieux...Donc je vais vous mettre le DM avec mes réponses pas très expliqué si je suis sur et un peu plus la ou je voudrais que vous m'aidiez...

Soit ABC un triangle.On note BC=a,CA=b et AB=c.
Le but de l'exercice est de pondérer les points A,B,C de façon que leur barycentre soit le centre I du cercle inscrit dans le triangle ABC puis l(orthocentre de ABC et enfin le centre,o, du cercle circonscrit à ABC.

A)Centre du cercle circonscrit

Notons A' l'intersection de la bissectrice de BAC(angle) et de (BC).
1)Démontrer que A' est équidistant des droites (AB) et (AC).On notera ensuite d la distance de A' aux droites (AB) et (AC),et h la longueurde la hauteur du triangle ABC issue de A.
-> Là je dis que c'est la définition même de la bissectrice(tout point de celle ci sont équidistant des droites formant l'angle dont elle est issue).Je fais aussi une demonstration avec triangle isométrique pour faire plaisir au prof(j'lui est demandé si je pouvais me contenter de la déf et il m'a dit que maintenant que je lui avais demandé c'était non)...
2)a)Exprimer les aires des triangles AA'B et AA'C de deux façons différentes et en déduire que A'B/A'C=c/b
-> 1 $A_{AA'B}$ =cd/2
$A_{AA'C}$ =bd/2
Là c'est facile j'ai pris les hauteurs de AA'B et AA'C(issue de A') mais pour exprimer une 2ème fois j'ai trouvé...Mais mon problème c'est que je sais pas comment dire(prouver) que la hauteur issue de A pour ABC c'est aussi la hauteur issue de A pour AA'B et AA'C.Je suppose qu'il doit y avoir un théorème ou une manière de la démontrer.Help?
Donc en passant outre comme si j'avais démonter j'ai :

2 $A_{AA'B}$ =(A'Bh)/2
$A_{AA'C}$ =(A'Ch)/2

Bon après je vérifie bien que A'B/A'C=c/b en utilisant 1 et 2.Ici np.

2)b)Démonter que A' est le barycentre des points pondérés (B,b) et (C,c).

-> Ici problème de notation(je pense) j'ai A'B/A'C=c/b alors je dis que c'est la même chose que A' $B→B^\rightarrow$ /A' $C→C^\rightarrow$ =c/b car les vecteurs ne changent pas la valeur du rapport.Celà est il correct?

Je vous épargne la suite de l'exo que je pense avoir réussi...
Si vous pouviez m'aider sur les points pour lequels je vous ai "interpelé".
Merci d'avance

Vous voulez pas y jeter un petit coup d'oeil plz?
Vous mettrez moins de temps à lire et à m'aider que moi à l'écrire.
P'tit coup de main?
Merci

Bon je vais essayer de vous resumez ça...
1er problème:
J'ai un triangle quelconque ABC,je trace ça hauteur issue de A ainsi que ça bissectrice "sortant" de l'angle BAC.
L'intersection de la bissectrice et de BC(segment) est A'.Donc on a le triangle A'AB et A'AC.
Puis je dire sans me tromper ou avec quelles précautions que la hauteur issue de A de ABC est aussi la hauteur des triangles A'AB et A'AC?

2ème problème:
J'ai A'B/A'C=c/b.Comment puis je passer de ça à A' barycentre de (B,b) et (C,c)?Je procède par la norme et ensuite je "place" comme il faut...

Merci pour votre future aide!

Salut.

Un petit dessin pour y voir plus clair:

Pour tes triangles isométriques, de toute façon ça prend quelques lignes. Donc on ne va pas contrarier ton prof.

2)a) Ensuite, tu dis: "Mais mon problème c'est que je sais pas comment dire(prouver) que la hauteur issue de A pour ABC c'est aussi la hauteur issue de A pour AA'B et AA'C."

Là, il n'y a aucun problème. Vu que c'est tout simple, je t'explique vite fait:

Comme A'app/(BC), et que (AA')perp/(BC), alors (AA')perp/(BA') et (AA')perp/(A'C).

On applique la définition de la hauteur: c'est une droite perpendiculaire à un côté du triangle, et passant pas le sommet opposé.

Que dire de plus?

2)b) Effectivement, un petit problème. Diviser un vecteur par un vecteur, c'est pas top. Le truc à savoir pour passer d'un vecteur à sa norme et inversement est tout simplement de mettre au carré.

A'B/A'C=c/b, donc b².A'B $→^\rightarrow$ ²=c².A'C $→^\rightarrow$ ²

On passe à la racine en justifiant rigoureusement le signe moins qui va apparaître. Je te laisse le faire, ça n'est pas bien difficile.

Donc b.A'B $→^\rightarrow$ =-c.A'C $→^\rightarrow$ . Je te laisse conclure.

J'en ai peut être un peu trop dit, mais bon... l'essentiel ici c'est de comprendre. D'autant plus que tu as montré que tu as cherché.

@+

Merci beaucoup!
Je fais ça cet aprem et je vous dis!
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