3. Intégrales niveau 1ère année, théorème des accroissements finis

Intégrales niveau 1ère année, théorème des accroissements finis

  • D

    Bonjour,
    J’ai un problème sur un exercice niveau 1ère année licence maths. Voici l’exercice:

    Soit une fonction continue f : R+ → R admettant une limite
    finie L en +∞. Pour x > 0, on note
    F(x) = 1/x * intégrale de 0 à x de f(t) dt

    (a) Soit x > 0. Prouver qu’il existe Cx ∈ [0,x] tel que F(x) = f(Cx).
    (b) En déduire la limite de F (x) quand x tend vers 0.
    (c) Vérifier que ,pour tout ε >0,il existe A>0 tel que:
    Pour tout x>=A, (1/x)*integrale de A à x de abs(f(t)-L)dt <= ε

    (d) Etudier la limite de F (x) quand x tend vers +∞.

    Pour la question 1, il faut utiliser le théorème des accroissements finis sur G, fonction qu’on devra fixer étant la primitive de f.
    C’est en revanche sur la dernière question où j’ai du mal.

    Merci d’avance de votre aide.

    vincesanz 1 réponse
  • vincesanz
    Modérateurs

    @Dan1505 Bonjour,

    As-tu avancé sur tes recherches ?
    J'ai l'impression que la limite de F en +∞+\infty+∞ est L, d'après ce que j'ai pu faire..

  • mtschoon

    Bonjour,

    J'ai la même impression que @vincesanz 🙂
    La limite cherchée au d) est L.

    @Dan1505 , si j'ai bien compris, c'est la dernière question qui te pose problème, c'est à dire la d)

    La d) est une conséquence de la c)

    Je mets quelques pistes possibles pour la c) , mais il faudra améliorer...

    Par hypothèse lim⁡x→+∞f(x)=L\displaystyle \lim_{x\to +\infty}f(x)=Lx→+∞lim​f(x)=L

    Traduction (avec la définition de limite)
    ∀ϵ>0, ∃A>0, t≥A, ∣f(t)−L∣≤ϵ\forall \epsilon \gt 0, \ \exists A \gt 0, \ t\ge A,\ |f(t)-L|\le \epsilon∀ϵ>0, ∃A>0, t≥A, ∣f(t)−L∣≤ϵ

    On intègre:

    1x∫Ax∣f(t)−L∣dt≤1x∫Axϵdt\dfrac{1}{x}\int_A^x|f(t)-L|dt\le \dfrac{1}{x}\int_A^x\epsilon dtx1​∫Ax​∣f(t)−L∣dt≤x1​∫Ax​ϵdt

    1x∫Ax∣f(t)−L∣dt≤1x[ϵt]Ax\dfrac{1}{x}\int_A^x|f(t)-L|dt\le \dfrac{1}{x}\biggl[\epsilon t\biggl]_A^xx1​∫Ax​∣f(t)−L∣dt≤x1​[ϵt]Ax​

    1x∫Ax∣f(t)−L∣dt≤1x(ϵx−ϵA)≤ϵ−Aϵx≤ϵ\dfrac{1}{x}\int_A^x|f(t)-L|dt\le \dfrac{1}{x}(\epsilon x-\epsilon A)\le \epsilon-\dfrac{A\epsilon}{x}\le \epsilonx1​∫Ax​∣f(t)−L∣dt≤x1​(ϵx−ϵA)≤ϵ−xAϵ​≤ϵ

    d'où la réponse demandée

    d) L'inégalité qui vient d'être prouvée traduit que :

    lim⁡x→+∞1x∫Ax∣f(t)−L∣=0\boxed{\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\dfrac{1}{x}\int_A^x|f(t)-L|=0}x→+∞lim​x1​∫Ax​∣f(t)−L∣=0​

    Tu peux isoler lim⁡x→+∞1x∫Axf(t)dt\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\dfrac{1}{x}\int_A^xf(t)dt x→+∞lim​x1​∫Ax​f(t)dt et en déduire, après calculs, la limite demandée ( faire le cas f(t)≥Lf(t)\ge Lf(t)≥L et le cas f(t)≤Lf(t) \le Lf(t)≤L )

    Bonne recherche.

  • vincesanz
    Modérateurs

    J'ai fait le même raisonnement que @mtschoon pour la c.
    Pour la d., autre piste : partir de ∣F(x)−L∣\mid F(x)-L\mid∣F(x)−L∣, séparer l'intégrale ∫0x\int_0^x∫0x​ en ∫0A\int_0^A∫0A​ et ∫Ax\int_A^x∫Ax​.
    Majorer la deuxième grâce à la question c.
    Par passage à la limite, la 1ère se calcule facilement.
    Et enfin arriver à ∣F(x)−L∣≤ϵ\mid F(x)-L\mid \leq\epsilon∣F(x)−L∣≤ϵ
    Mais il faut bien sûr être rigoureux (ce qui n'a pas vraiment été mon cas ici... 😂 )

Se connecter pour répondre