3. Résolution approchée

Résolution approchée

  • T

    Bonjour à tous, je rencontre quelques difficultés en analyse numérique étant en première année d'école d'ingénieur. J'ai énormément de mal avec cette matière c'est pourquoi je viens vous demander votre aide.

    Le sujet porte sur la résolution de l'équation suivante : ex=x+2e^x=x+2ex=x+2
    Ainsi l'énoncé dis :

    • 1°) Mettre cette équation sous la forme f(x)=0f(x)=0f(x)=0 et de calculer la limite de cette fonction en +∞,−∞+\infty,- \infty+∞,−∞ et de calculer f(0)f(0)f(0), pour montrer qu'il y a au moins 2 solutions.

    • 2°) Déterminer la dérivée de f(x)f(x)f(x)

    • 3°) En déduire que cette équation admet exactement 2 solutions

    • 4°)Déterminer des intervalles de la forme [k,k+1][k,k+1][k,k+1] avec k∈Nk \in \mathbb{N}k∈N de telle sorte que ses intervalles comprennent une des solutions chacun. Puis réaliser 4 itération de recherche par dichotomie dans l'un des deux.

    • 5°) Et enfin réaliser trois itération de la méthode de Newton

    Pour ce qui est des trois premières questions pas de problème de compréhension majeur on trouve que f(0)=−1f(0)=-1f(0)=−1 et que
    lim⁡x→+∞f(x)=+∞\displaystyle \lim_{x\to+\infty} f(x)=+\inftyx→+∞lim​f(x)=+∞ et lim⁡x→−∞f(x)=+∞\displaystyle \lim_{x\to-\infty} f(x)=+\inftyx→−∞lim​f(x)=+∞ ce qui nous amène directement à dire que:
    la fonction est décroissante de ]−∞,0]]-\infty,0]]−∞,0] ,et croissante sur ]0,+∞]]0,+\infty]]0,+∞] ce qui malgré le fait que je ne sache pas le rédiger plus proprement indique que cette équation à au moins deux solutions.

    Pour la dérivée nous avons donc f′(x)=ex−1f'(x)=e^x-1f′(x)=ex−1 et celle-ci ne s'annule seulement pour x=0x=0x=0 ce qui fait que f(0)=−1f(0)=-1f(0)=−1 est le minimum de notre fonction. Et donc que nous avons deux solutions uniques.

    Mais je n'ai aucune idée si la réponse est acceptable rédigée ainsi et surtout je ne sais pas comment déterminer les intervalles... Je ne pense pas qu'il soient choisit arbitrairement.
    Merci d'avance pour votre aide.

    N 1 réponse
  • N
    Modérateurs

    Bonjour Tommyfacette,

    Le début est juste. Une erreur de frappe pour la dérivée, f′(0)=−1f'(0)= -1f′(0)=−1
    Pour la question 3°) Dresse le tableau de variation et utilise le théorème des valeurs intermédiaires.
    Pour la question 4, A partir du tableau de valeurs, détermine une valeur de kkk telle que f(x)f(x)f(x) soit supérieur à 0. Tu peux utiliser le graphe de la courbe.

  • T

    Merci beaucoup je vais essayer !

    N 1 réponse
  • N
    Modérateurs

    Indiques tes éléments de réponse si tu souhaites une correction.

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