Dérivés : Consommation d’essence

Bonjour à tous, j’aimerais obtenir de l’aide sur cet exercice :

La consommation d’essence C d’un véhicule peut s’exprimer en fonction de la vitesse v sous la forme :

C(v)= 0,06v + 150/v, avec v > 0.

Calculer l’expression de C’ , fonction dérivée de la fonction C ]0 ; ∞[
Déterminer le signe de C’(v) pour v > 0
Donner le tableau de variations de la fonction C sur l’intervalle [20 ; 130].
En déduire la vitesse à laquelle il faut rouler pour que la consommation soit minimale. Quelle est cette consommation.

Je vous remercie par avance, je n’ai pas de résultat pour le moment car je ne sais pas du tout comment commencer.

Bonjour Alexis-Dumont,

La dérivée de $a x + b$ est $a$ donc la dérivée de $0,06v est .....
La dérivée de $ax\dfrac{a}{x}$ est $−ax2-\dfrac{a}{x^2}$ donc la dérivée de $150v\dfrac{150}{v}$ est ....

Tu déduis $C^{'} (v) = . . . .$

Complète les .....

Du coup, la dérivée de 0,06v est 0,06 et la dérivée de 150/x est -150/v^2 ?

Donc C’(v) = 0,06 - 150/v^ 2 ?

La dérivée est juste.
Détermines son signe en réduisant l'expression au même dénominateur.

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@Noemi Je ne sais pas comment on fait...

Bonjour,

@Alexis-Dumont ,

Un coup de pouce pour avancer ton travail,

Je suppose que $C(v)=0.06v+150vC(v)=0.06v+\dfrac{150}{v}$

$C′(v)=0.06−150v2C'(v)=0.06-\dfrac{150}{v^2}$

En réduisant au même dénominateur :

$C′(v)=0.06v2−150v2C'(v)=\dfrac{0.06v^2-150}{v^2}$

Tu dois étudier le signe de $C^{'} (v)$ pour $v>0v\gt 0$

Le dénominateur $v^2$ est strictement positif, donc $C^{'} (v)$ est du signe du numérateur $0.06v^2-150$

$C^{'} (v) = 0$ <=> $0.06v^2-150=0$ <=> $v^2=2500$

Au final,

$C^{'} (v) = 0$ <=> $v=2500v=\sqrt{2500}$ <=> $v = 50$

Il te reste à faire :

$\gt 0$ <=> ..................(tu calcules)

$\lt 0$ <=> ..................(tu calcules)

@mtschoon
Bonjour, merci beaucoup ! Mais j’ai pas compris pourquoi de 0,06v^2 c’est passé à 0,05v^2 ? Merci

C'est une erreur de frappe. C'est bien $0,06v^2 - 150 = 0$ qu'il faut lire.

Ok merci ! V vaut bien 50 ?

@Alexis-Dumont ,

Exact, faute de frappe pour 0.005 au lieu de 0.006.
(j'ai rectifié)
$0.06v^2-150=0$ <=> $v2=1500.06v^2=\dfrac{150}{0.06}$ <=> $v^2=2500$ d'où, vu que v est positif :
$v = 50$

Aucun problème merci beaucoup ! Par contre je n’ai pas bien compris comment calculer c’(v)>0 et c’(v) < 0

@Alexis-Dumont ,

v étant positif dans ton énoncé , cela ne doit pas te poser de difficultés.

$C′(v)>0C'(v)\gt 0$ <=> $0.06v2−150>00.06v^2-150 \gt 0$ <=> $v2>1500.06v^2\gt \dfrac{150}{0.06}$ , c'est à dire :

$v2>2500v^2\gt 2500$

En prenant la racine carrée de chaque membre positif ( on ne change pas le sens de l'inégalité) , on obtient $v>50v\gt 50$

Tu traites de la même façon le cas $C′(v)<0C'(v)\lt 0$

Alors,
C’(v) < 0 <=> 0,06 v^2 - 150
<=> v^2 < 150/0,06
V^2 < 2500
V< 50 ?

@Alexis-Dumont ,

Il faut écrire $0.06v2−150<00.06v^2-150 \lt 0$

$v2<2500v^2\lt 2500$

Ensuite, il faut préciser que tu travailles pour $\gt 0$ , donc qu'en prenant la racine carrée de chaque membre , tu trouves :

$0<v<500\lt v \lt 50$

Ok merci, est-ce que je dois donner son tableau de signe ?

@Alexis-Dumont

Faire un tableau des signes de C'(v) sera très bien pour la conclusion de la question 2 (et tu pourras t'en servir pour le tableau de variations demandé à la question 3)

Merci beaucoup, pour la question 3 j’ai fait ce tableau.

Et pour la question 4:
La consommation admet un minimum en 50, alors pour que la consommation soit minimale, il faudrait rouler à 50km/h. Cette consommation est 6

@Alexis-Dumont ,

C'est bon !

Merci beaucoup pour votre aide !! Est-ce que la consommation a une unité ?

Et aussi juste pour être sûr, pour la question 2, j’écris :
C(v)= 0,06 v + 150/v
C’(v)= 0,06 - 150/v^2

En réduisant au même dénominateur :
C’(v)= 0,06 v^2 - 150 / v^2

1er cas:
C’(v) > 0 <=> 0,06 v^2 - 150 > 0 <=>
V^2 > 150 / 0,06 c’est à dire,
V^2 > 2500
En prenant la racine de chaque membre positif, on obtient v > 50

2e cas:
C’(v) < 0 <=> 0,06v^2 - 150 < 0
V^2 < 2500
En prenant la racine de chaque membre,
0<v>50 ?

@Alexis-Dumont ,

La toute dernière ligne ne va pas.

C'est $0<v<500\lt v\lt 50$

Mince erreur d’inattention !! Merci

@Alexis-Dumont , de rien !
C'est très bien si tu maîtrises l'étude de la fonction.

Bon travail !