Dérivés : Consommation d’essence


  • Alexis Dumont

    Bonjour à tous, j’aimerais obtenir de l’aide sur cet exercice :

    La consommation d’essence C d’un véhicule peut s’exprimer en fonction de la vitesse v sous la forme :

    C(v)= 0,06v + 150/v, avec v > 0.

    1. Calculer l’expression de C’ , fonction dérivée de la fonction C ]0 ; ∞[

    2. Déterminer le signe de C’(v) pour v > 0

    3. Donner le tableau de variations de la fonction C sur l’intervalle [20 ; 130].

    4. En déduire la vitesse à laquelle il faut rouler pour que la consommation soit minimale. Quelle est cette consommation.

    Je vous remercie par avance, je n’ai pas de résultat pour le moment car je ne sais pas du tout comment commencer.


  • N
    Modérateurs

    Bonjour Alexis-Dumont,

    La dérivée de ax+bax+bax+b est aaa donc la dérivée de $0,06v est .....
    La dérivée de ax\dfrac{a}{x}xa est −ax2-\dfrac{a}{x^2}x2a donc la dérivée de 150v\dfrac{150}{v}v150 est ....

    Tu déduis C′(v)=....C'(v) = ....C(v)=....

    Complète les .....


  • Alexis Dumont

    Du coup, la dérivée de 0,06v est 0,06 et la dérivée de 150/x est -150/v^2 ?

    Donc C’(v) = 0,06 - 150/v^ 2 ?


  • N
    Modérateurs

    La dérivée est juste.
    Détermines son signe en réduisant l'expression au même dénominateur.


  • Kenza Mansouri

    Ce message a été supprimé !

  • Alexis Dumont

    @Noemi Je ne sais pas comment on fait... 😥


  • mtschoon

    Bonjour,

    @Alexis-Dumont ,

    Un coup de pouce pour avancer ton travail,

    Je suppose que C(v)=0.06v+150vC(v)=0.06v+\dfrac{150}{v}C(v)=0.06v+v150

    C′(v)=0.06−150v2C'(v)=0.06-\dfrac{150}{v^2}C(v)=0.06v2150

    En réduisant au même dénominateur :

    C′(v)=0.06v2−150v2C'(v)=\dfrac{0.06v^2-150}{v^2}C(v)=v20.06v2150

    Tu dois étudier le signe de C′(v)C'(v)C(v) pour v>0v\gt 0v>0

    Le dénominateur v2v^2v2 est strictement positif, donc C′(v)C'(v)C(v) est du signe du numérateur 0.06v2−1500.06v^2-1500.06v2150

    C′(v)=0C'(v)=0C(v)=0 <=> 0.06v2−150=00.06v^2-150=00.06v2150=0 <=> v2=2500v^2=2500v2=2500

    Au final,

    C′(v)=0C'(v)=0C(v)=0 <=> v=2500v=\sqrt{2500}v=2500 <=> v=50v=50v=50

    Il te reste à faire :

    C′(v)>0C'(v) \gt 0C(v)>0 <=> ..................(tu calcules)

    C′(v)<0C'(v) \lt 0C(v)<0 <=> ..................(tu calcules)


  • Alexis Dumont

    @mtschoon
    Bonjour, merci beaucoup ! Mais j’ai pas compris pourquoi de 0,06v^2 c’est passé à 0,05v^2 ? Merci


  • N
    Modérateurs

    C'est une erreur de frappe. C'est bien 0,06v2−150=00,06v^2 - 150 = 00,06v2150=0 qu'il faut lire.


  • Alexis Dumont

    Ok merci ! V vaut bien 50 ?


  • mtschoon

    @Alexis-Dumont ,

    Exact, faute de frappe pour 0.005 au lieu de 0.006.
    (j'ai rectifié)
    0.06v2−150=00.06v^2-150=00.06v2150=0 <=> v2=1500.06v^2=\dfrac{150}{0.06}v2=0.06150 <=> v2=2500v^2=2500v2=2500 d'où, vu que v est positif :
    v=50v=50v=50


  • Alexis Dumont

    Aucun problème merci beaucoup ! Par contre je n’ai pas bien compris comment calculer c’(v)>0 et c’(v) < 0


  • mtschoon

    @Alexis-Dumont ,

    v étant positif dans ton énoncé , cela ne doit pas te poser de difficultés.

    C′(v)>0C'(v)\gt 0C(v)>0 <=> 0.06v2−150>00.06v^2-150 \gt 00.06v2150>0 <=> v2>1500.06v^2\gt \dfrac{150}{0.06}v2>0.06150 , c'est à dire :

    v2>2500v^2\gt 2500v2>2500

    En prenant la racine carrée de chaque membre positif ( on ne change pas le sens de l'inégalité) , on obtient v>50v\gt 50v>50

    Tu traites de la même façon le cas C′(v)<0C'(v)\lt 0C(v)<0


  • Alexis Dumont

    Alors,
    C’(v) < 0 <=> 0,06 v^2 - 150
    <=> v^2 < 150/0,06
    V^2 < 2500
    V< 50 ?


  • mtschoon

    @Alexis-Dumont ,

    Il faut écrire 0.06v2−150<00.06v^2-150 \lt 00.06v2150<0

    v2<2500v^2\lt 2500v2<2500

    Ensuite, il faut préciser que tu travailles pour x>0x \gt 0x>0, donc qu'en prenant la racine carrée de chaque membre , tu trouves :

    0<v<500\lt v \lt 500<v<50


  • Alexis Dumont

    Ok merci, est-ce que je dois donner son tableau de signe ?


  • mtschoon

    @Alexis-Dumont

    Faire un tableau des signes de C'(v) sera très bien pour la conclusion de la question 2 (et tu pourras t'en servir pour le tableau de variations demandé à la question 3)


  • Alexis Dumont

    Merci beaucoup, pour la question 3 j’ai fait ce tableau.
    1518D29C-B242-4919-A450-CA135D13F6B0.jpeg

    Et pour la question 4:
    La consommation admet un minimum en 50, alors pour que la consommation soit minimale, il faudrait rouler à 50km/h. Cette consommation est 6


  • mtschoon

    @Alexis-Dumont ,

    C'est bon !


  • Alexis Dumont

    Merci beaucoup pour votre aide !! Est-ce que la consommation a une unité ?


  • Alexis Dumont

    Et aussi juste pour être sûr, pour la question 2, j’écris :
    C(v)= 0,06 v + 150/v
    C’(v)= 0,06 - 150/v^2

    En réduisant au même dénominateur :
    C’(v)= 0,06 v^2 - 150 / v^2

    1er cas:
    C’(v) > 0 <=> 0,06 v^2 - 150 > 0 <=>
    V^2 > 150 / 0,06 c’est à dire,
    V^2 > 2500
    En prenant la racine de chaque membre positif, on obtient v > 50

    2e cas:
    C’(v) < 0 <=> 0,06v^2 - 150 < 0
    V^2 < 2500
    En prenant la racine de chaque membre,
    0<v>50 ?


  • mtschoon

    @Alexis-Dumont ,

    La toute dernière ligne ne va pas.

    C'est 0<v<500\lt v\lt 500<v<50


  • Alexis Dumont

    Mince erreur d’inattention !! Merci


  • mtschoon

    @Alexis-Dumont , de rien !
    C'est très bien si tu maîtrises l'étude de la fonction.

    Bon travail !


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