Demontrez par récurrence

[Iryezu]

REPOST (car j'ai trouver pour l'exercice que j'avai mit donc je repost avec le 3ème et dernier exercice )
Alors voila le prof m'a donner un exo sur lequel je suis bloquer :
• Montrez que pour tout entier naturel n
3 divise $4^n-1$
-Alors pour celui la j'ai d'abord nommer ma suite Pn : "$4^n-1$"

• Cependant je ne vois pas quoi demontrez pour l'initialisation
• Je dois également faire l'hérédité ; je suppose que je dois partir de 4^(n+1)-1 pour arriver a $4^n-1$
• Puis conclure

•u0 = 0
VnEN un+1 =$\sqrt{Un+2}$
Montrer que pour tout entier naturel n
0=<Un<=2

• J'ai essayer de calculer les 5 premier terme au cas ou je repererai une raison mais non j'ai juste conclu que la droite tend vers 2 ( u1=1,41; u2=1,84 ; u3=1,95 ; u4=1,98 ; u5=1,99 )
• Pour l'initialisation je ne vois pas comment prouver que c'est vrai
• et pour l'hérédité non plus car on ne veut pas prouver qu'elle est vrai pour n+1 mais que elle se situe entre 0 et 2

Alors voila j'aimerai bien de l'aide svp

[mtschoon]

@Iryezu, bonjour,

Piste possible pour ta première récurrence

3 divise $4^n-1$ veut dire qu'il existe un naturel k tel que $4^n-1=3k$ c'est à dire que $4^n=3k+1$

Initialisation pour n=0 :
$4^0=1$
En choisissant k=0, $4^0=(3\times 0)+1$
La propriété est don vraie pour n=0

Hérédité
On suppose qu le propriété est vraie à l'ordre n c'est à dire qu'il existe un naturel k tel que $4^n=3k+1$
On va démontrer que la propriété est vraie à l'ordre n+1 c'est à dire qu'il existe un naturel k' tel que $4^{n+1}=3k^{\prime }+1$

Piste pour la démonstration
$4^{n+1}=4^n\times 4=(3k+1)\times 4=12k+4=(12k+3)+1$

Tu peux écrire $4^{n+1}=3(4k+1)+1$

donc k'=...

Piste pour ta seconde récurrence

Initialisation pour n=0 :
$U_0=0$
0 est compris, au sens large, entre 0 et 2, donc la propriété est exacte

Hérédité
On suppose qu le propriété est vraie à l'ordre n, c'est à dire que
$0\le U_n\le 2$
Tu dois démontrer, par encadrements successifs, que $0\le U_{n+1}\le 2$

Reposte si tu n'y arrives pas.

[Iryezu]

@mtschoon
$0\le Un+1\le 2$
$0+2\le Un+2\le 2+2$
$2\le Un+2\le 4$
$\sqrt{2}\le \sqrt{Un+2}\le \sqrt{4}$
$1,41\le un+1\le 2$
$0\le 1,41\le un+1\le 2\le 2$
Donc $0\le un+1\le 2$
Merci de votre aide j'ai compris désormais .

[mtschoon]

@Iryezu ,

OK pour ta démarche globale.

Quelques détails à revoir.

A la première ligne, je suppose que tu as voulu écrire :
$0\le U_n\le 2$ (qui est l'hypothèse de la récurrence)

et les 3 dernières lignes doivent être :

$\sqrt{2}\le U_{n+1}\le 2$ (conserve $\sqrt{2}$ car 1.41 n'en est qu'une valeur approchée)

$0\le \sqrt{2}\le U_{n+1}\le 2$

donc: $0\le U_{n+1}\le 2$

Contente que tu aies compris .

Bon travail !