Polynome de second degré

Bonsoir je suis en première et j a un dm que je n'ai pas compris.

Un segment AB a pour longueur 12cm. M est un point du segment AB tel que AM= x cm.
On forme sur les segments AM et MB deux triangles équilatéraux.
Pour quelle valeur de x la somme des aires de ces triangles estelle minimale.
Merci d avance.

@Maissane-Oudriss , bonjour,

Pour calculer l'aire d'un triangle équilatéral , tu as la formule ici :
https://www.wikitp.fr/airesvolumes/aire-triangle-equilateral
Elle doit être dans ton cours, je pense.

Piste pour démarrer ton exercice,

Tu as fait un schéma je suppose.
J'appelle AMC le triangle équilatéral de base AM et MBD le triangle équilatéral de base MB

Nécessairement $\le x\le 12$
$A M = x$ et $M B = 12 - x$

$Aire(AMC)=x234Aire(AMC)=\dfrac{x^2\sqrt3}{4}$

$Aire(MBD)=(12−x)234Aire(MBD)=\dfrac{(12-x)^2\sqrt3}{4}$

Soit f(x) la somme de ces aires.

$f(x)=x234+(12−x)234f(x)=\dfrac{x^2\sqrt3}{4}+\dfrac{(12-x)^2\sqrt3}{4}$

Tu simplifies l'expression de f(x)

Tu étudies les variations de f sur [0,12] et tu en déduis la valeur de x pour laquelle f prend sa valeur minimale.

(Sauf erreur, tu dois trouver que le minimum est pour x=6)

Reposte si tu n'y arrives pas ou si tu as besoin d'une vérification.

Merci j ai eu un problème avec le site donc je n'ai pas reçu la réponse à temps mais je te remercie :).

@Maissane-Oudriss , bonjour,

Effectivement, je t'ai répondu le jour où tu as posé ta question.
Par prudence, à l'avenir, essaie de poser tes questions avec suffisamment d'avance, car on est jamais sûr des connexions...

En attendant que ton professeur te donne la correction, tu peux regarder maintenant mes pistes pour voir, avec de l'avance, si tu as bien maîtriser ton exercice.

Bon travail (et bon dimanche) !

Merci beaucoup, bon dimanche à vous aussi.

Je voulais demander pour la formule de l'aire: pourquoi divise-t-on pas 4 et non par 2. Est-ce par rapport à un développement ou la formule est faite ainsi?
Merci d'avance.

Ce message a été supprimé !

@Black-Jack a dit dans Polynome de second degré :

@Maissane a dit dans Polynome de second degré :

Je voulais demander pour la formule de l'aire: pourquoi divise-t-on pas 4 et non par 2. Est-ce par rapport à un développement ou la formule est faite ainsi?
Merci d'avance.

Dans un triangle équilatéral de coté a, la mesure d'une hauteur est $a.\frac{\sqrt{3}}{2}$ ... essaie de le démontrer, c'est facile.

L'aire du triangle : S = 1/2 * a * h

$\frac{1}{2} . a . a.\frac{\sqrt{3}}{2}$

$a^2.\frac{\sqrt{3}}{4}$

Voila d'où vient le 4.

merci beaucoup

@Maissane ,

Si tu veux tous les calculs détaillés pour l'aire d'un triangle équilatéral (même le calcul de h), tu peux regarder la vidéo ici :

https://www.youtube.com/watch?v=KPxItirqCHg

Bonne journée à tous.

@mtschoon J'ai terminé mes calculs et j'ai bien trouvé x=6cm mais je voulais demander on n'est pas obliger d'utiliser alpha et beta pour ce problème?

@Maissane ,

C'est très bien d'avoir effectué l'exercice et d'avoir abouti.

Ne connaissant pas les notations de ton cours, je ne sais pas ce que représentent $α\alpha$ et $β\beta$ ...
merci de le préciser si necessaire.

Je t'indique une méthode générale (qui doit être actuellement celle de ton cours) :
$f(x)=ax^2+bx+c$
Pour $\gt 0$ , le minimum est obtenu pour $x=−b2a\boxed{x=-\dfrac{b}{2a}}$
En mettant $34\dfrac{\sqrt 3}{4}$ en facteur pour simplifier les calculs, tu as dû trouver :
$f(x)=32(x2−12x+72)f(x)=\dfrac{\sqrt 3}{2}(x^2-12x+72)$
si tu préfères :
$f(x)=32x2−63x+363f(x)=\dfrac{\sqrt 3}{2}x^2-6\sqrt 3 x+36\sqrt 3$

Après calcul, en utilisant la formule encadrée, le minimum est bien pour x=6
(bien sûr, en prenant l'expression factorisée, le calcul est plus simple)

D'accord merci beaucoup pour la réponse je cherchais la forme canonique en plus pour m'entraîner mais maintenant je comprends pourquoi je ne trouvais pas la méthode générale parce que moi je n'ai pas mis en facteur, j'ai développer l'équation pour à la fin trouver x=6 donc je n'ai pas trouvé à la fin de mes calculs f(x)=ax²+bx+c pour calculer la forme canonique.

@Maissane ,

Passer par la forme canonique : c'est très bien.

$f(x)=32[(x−6)2−36+72]=32[(x−6)2+36]f(x)=\dfrac{\sqrt 3}{2}\biggl[(x-6)^2-36+72\biggl]=\dfrac{\sqrt 3}{2}\biggl[(x-6)^2+36\biggl]$

Minimum pour x=6.

C'est bien sûr dommage que tu aies déjà rendu ton devoir, mais tu as bien travaillé. C'est l'essentiel !

@mtschoon a dit dans Polynome de second degré :

calculer l'aire d'un triangle équilatéral

je ne comprend pas pourquoi x devien x2

@Paul-ESPIAND ,
Je pense que c'est la formule de laire d'un triangle équilatéral qui te pose problème.

L'aire d'un triagle équilatéral de côté $x$ est $x234x^2\dfrac{\sqrt {3}}{4}$

Si tu n'as pas la formule dans ton cours, tu as la démonstration ici :
https://www.youtube.com/watch?v=SbYYJIXqwkw