Suite pqr récurrence termainale S

[Jahir Ibrahim]

Bonjour Monsieur, Madame

J'ai un exemple à résoudre pour mon cours sur les suites par récurrence. Dans l'exemple j'ai reuissi que l'étape 1 et je n'arrive à resoudre l'étape 2 je voudrais bien que quelqu'un m'aide à résoudre. Merci Beaucoup

Voici l'exemple :

On considère la suite (un)n≥1 définie par u1= 10 et, pour tout n ∈ N*,
un+1= (n(un)/n + 2) + 9

On considère la suite (wn) définie pour tout n ∈ N*, par wn = un− 3n − 6.
Montrer par récurrence que, pour tout n ∈ N*, wn>0

etape 1:
n=1 w1=u1− 3x1 − 6= 10 − 9 = 1
w1>0 donc la propriété est vraie pour n=1.

etape 2 supposons qu'il existe un entier k tel que la propriété soit vraie c'est à dire,
wk > 0
montrons que la propiété est vrai au rang k+1 soit Wk+1 > 0
wk > 0
un− 3n − 6 > 0
un+1 -3(n+1)-6 > 0
(n(un)/n + 2) + 9-3n-3-6 > 0
(n(un)/n + 2) -3n > 0
(n(un)/n + 2) > 3n > 0

Je suis bloqué à la je ne sais pas quoi faire.

[mtschoon]

@Jahir-Ibrahim , bonjour,

Je suppose que dans ton énoncé une parenthèse est mal placée, et qu'il faut comprendre :
$\boxed{U_{n+1}=\frac{n{U}_n}{n+2}+9}$

OK pour l'étape 1

Je te donne des indications pour l'étape 2

Hypothèse au rang $k$ ($k\ge 1$) : $\boxed{W_k>0}$
Pour les besoins de la démonstration, tu pourras transformer cette inégalité : $W_k>0$ <=> $U_k-3k-6>0$ <=> $\boxed{U_k>3k+6}$

Conclusion à démontrer au rang $k+1$ : $\boxed{W_{k+1}>0}$

Pistes possibles pour la démonstration

$W_{k+1}=U_{k+1}-3(k+1)-6$

$W_{k+1}=\frac{k{U}_k}{k+2}+9-3(k+1)-6$

Tu transformes cette expression le mieux possible

Tu devrais arriver à :

$W_{k+1}=\frac{k{U}_k-3k^2-6k}{k+2}$

En utilisant, dans cette inégalité, l'hypothèse de la récurrence $U_k>3k+6$, après calculs , tu dois arriver à : $\boxed{W_{k+1}>0}$

Bons calculs.

Reposte si besoin.