Maths vecteur problème

Bonsoir,

J’ai du mal à résoudre cet exercice car j’applique une formule mais cela mène à un mauvais résultat.

On considère le plan P muni d’un repère R = (O, i, j). On note B = (i, j) la base associée. Considérons les vecteurs ⃗u, ⃗v et les points O′ et P caractérisées par leurs coordonnées :

Ur(2;-1) , Vr(-1;1), O’r(-2;2) Pr(4;2)

U,V,O’,P sont des vecteurs exprimés dans le repère r

Montrer que B′ = (⃗u, ⃗v) est une base.

J’ai montré que les vecteurs ne sont pas colinéaires.

2. Calculer les coordonn ́ees [O′P]B puis [O′P]B′.
Ici j’ai utilisé la propriété qui nous dis que w(a,b) dans une autre base b’ orthonormée dans laquelle b’=(u;v)

S’exprime selon Wr’(w.u ; w.v)

Merci de me guider pour trouver mon erreur

@mimims Bonsoir,

La base B' est-elle orthonormée ?

Bonjour,

@mimims , réfléchis à la question posée par @Noemi .

En admettant que la base B soit orthonormée (ce que tu n'indiques pas dans ton énoncé), pour que B' soit une base orthonormée, elle doit satisfaire aux conditions suivantes :

$u→.v→=0\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0$
$∣∣u→∣∣=∣∣v→∣∣=1||\overrightarrow{u}||=||\overrightarrow{v}||=1$

Avec les coordonnées données dans l'énoncé, fais les calculs pour savoir si ces conditions sont satisfaites.
Dans l'affirmative, tu peux utiliser la propriété que tu indiques.

Sinon, tu fais le calcul usuel, vectoriel ou matriciel.
Si tu n'as pas encore vu en cours les matrices de changement de base, tu fais le calcul vectoriel.

Piste,

$O′P→=6i→+0j→\overrightarrow{O'P}=6\overrightarrow{i}+0\overrightarrow{j}$ (facile à trouver) (*)

Soit a et b les coordonnées de $O′P→\overrightarrow{O'P}$ dans la base B'
$O′P→=au→+bv→\overrightarrow{O'P}=a\overrightarrow{u}+b\overrightarrow{v}$
d'où
$O′P→=a(2i→−j→)+b(−i→+j→)\overrightarrow{O'P}=a(2\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j})+b(- \overrightarrow{i}+\overrightarrow{j})$

Après développements et regroupements, $O′P→\overrightarrow{O'P}$ se met sous la forme :
$O′P→=(.....)i→+(.....)j→\overrightarrow{O'P}=(.....)\overrightarrow{i}+(.....)\overrightarrow{j}$ (**)

En identifiant (*) et (**), tu trouves un système de deux équations à deux inconnues a et b à résoudre .

Bons calculs.
Tiens nous au courant de tes réponses si tu le souhaites.