Bonsoir à tous exercice de logique

D´eterminer tous les nombres r´eels
x, y et z de ]0, 1[ v´erifiant le syst`eme suiva
(x^2 +y^2)√(1-z^2)》z
(Y^2+z^2)√(1-X^2)》x
(Z^2+X^2)√(1-Y^2)》y
BONNE RÉFLEXION

@Bnhadouch-Yassir essaie de traduire en latex tes équations!

@loicstephan ok

@Bnhadouch-Yassir ,

Effectivement, pour répondre à ta question relative à l'écriture des formules mathématiques, Noemi t'a indiqué le lien pour apprendre à écrire en Latex ( et tu n'as pas essayé de t'en servir...)

L'exercice que tu proposes est un exercice original de recherche

Je peux te dire que pour $x = y = z$ , tu obtiens $x=y=z=12x=y=z=\dfrac{1}{\sqrt 2}$ (solutions du système correspondant au cas des égalités).

C'est le seul cas qui convient ( tu peux vérifier )

Mais, si cet exercice très particulier t'est proposé (?) , c'est pour te faire chercher (et trouver si possible ).
Te donner une solution serait guère pédagogique.

Bonne recherche et tiens nous au courant de ton avancé.

@Bnhadouch-Yassir , tu ne donnes pas d'indications sur ton avancée...
Tu n'as rien fait ? ? ?

Evidemment, cet exercice serait peut-être mieux dans la rubrique 'Enigmes et curiosités' que dans la rubrique 'Terminale' car il n'utilise aucune connaissance particulière du cours de Terminale.
Il nécessite de la pratique calculatoire.

La modération le déplacera si elle le juge mal placé.

Comme je l'ai regardé, pour consultation éventuelle, j'indique quelques possibilités que j'ai utilisées pour le résoudre.
Mais il y a liberté totale, vu qu'aucune indication est donnée.
Chacun peut le faire à sa façon.

Comme indiqué dans ma première réponse, en prenant x=y=z, on obtient pour solution
$x=y=z=12=22x=y=z=\dfrac{1}{\sqrt 2}=\dfrac{\sqrt 2}{2}$
Question à se poser : il y a-t-il d'autres solutions?

On a le système
$(3)\begin{cases} (x^2+y^2)\sqrt{1-z^2}\ge z \ \ \ (1) \cr (y^2+z^2)\sqrt{1-x^2}\ge x \ \ \ (2) \cr (z^2+x^2)\sqrt{1-y^2}\ge y \ \ \ (3) \end{cases}$

Dans ce système, les inéquations se déduisent l'une de l'autre par permutation circulaire sur les inconnues x,y,z.
On peut supposer par exemple : $x≤y≤zx\le y\le z$ sans nuire à la généralité.
Avec l'hypothèse x, y, z appartiennent à ]0,1[, tous les calculs peuvent se faire sans conditions supplémentaires.

(1) <=> $x2+y2≥z1−z2x^2+y^2 \ge \dfrac{z}{\sqrt{1-z^2}}$ <=> $z1−z2≤x2+y2\dfrac{z}{\sqrt{1-z^2}} \le x^2+y^2$

Vu la condition $x≤y≤zx\le y\le z$ prise, on peut déduire $x2+y2≤2z2x^2+y^2 \le 2z^2$
d'où
$z1−z2≤2z2\dfrac{z}{\sqrt{1-z^2}} \le 2z^2$
En transformant cette inéquation, on arrive à trouver $(2z2−1)2≤0(2z^2-1)^2 \le 0$
Comme un carré est forcément positif au sens large, il reste : $2z^2-1)^2 = 0$ d'où , après transformation
$z=12=22z=\dfrac{1}{\sqrt 2}=\dfrac{\sqrt 2}{2}$

L'inéquation (1) devient : $x2+y2≥1x^2+y^2\ge 1$
Avec la condition prise $x≤y≤zx\le y\le z$ , on obtient : $x2+y2≤2z2x^2+y^2\le 2z^2$ c'est à dire $x2+y2≤1x^2+y^2\le 1$
Donc : $x^2+y^2=1$
En utilisant cette égalité dans (2) et dans (3), après calculs, on obtient $x=y=12=22x=y=\dfrac{1}{\sqrt 2}=\dfrac{\sqrt 2}{2}$

La solution unique pour le triplet (x,y,z) est donc $(22,22,22)\boxed{(\dfrac{\sqrt 2}{2},\dfrac{\sqrt 2}{2},\dfrac{\sqrt 2}{2})}$

Bon courage à ceux qui voudront faire les calculs ! ! !