Développement et factorisation d'une expression polynome



  • Bonjour
    J'ai un exercice sur lequel je bloque! :frowning2:
    Pour tout entier naturel non nul on pose N = n4n^4 + n^2 + 1

    1. Compléter le tableau de valeurs (je ne le met pas ici, je pense que la réponse est facile).

    Je pense avoir répondu à la deuximème question

    a)Développer et simplifier
    : (n^2 + 1 )^2 - n^2

    Voici mon résultat
    n2 = ((n^2)^2 + 1^2) – n^2 = (n^2)^2 + 2n^2 + 1 – n^2 = n4n^4 + n^2 + 1

    b)Factoriser cette même expression

    Voici mon résultat
    (n^2 + 1)^2 – n^2 = [(n^2 + 1) – n] [(n^2 + 1) + n]
    = (n^2 + 1 – n) (n^2 + 1 + n)

    C'est à partir de maintenant que je bloque

    1. En utilisant le résultat obtenu en 2b, montrer:
      a) Si n est un nombre entier naturel, alors n^2 - n + 1 est aussi un nombre entier naturel. Pour quelles valeurs de n ce nombre est il égal à 1?

    Je suppose que c'est une équation

    b) Conclure alors que si n est différent de 1, alors N n'est jamais un nombre premier

    c) Décomposer en produits les nombre N obtenus dans le tableau de la question 1

    En lisant et relisant mes cours, je ne vois pas comment faire!!
    Merci de vos conseils
    A+



  • 3a) si n est entier, alors n² l'est aussi, ainsi que n² - n, et enfin il en va de même pour n² - n + 1. Le problème est de montrer que c'est un entier naturel. Or, puisque n est entier naturel (non nul), on a n² >= n car n >= 1. Ainsi n² - n est un entier naturel éventuellement nul (c'est le cas si n = 1). Donc n² - n + 1 est aussi supérieur à 1 : c'est donc un entier naturel.

    La quantité n² - n + 1 est égale à 1 lorsque n² - n = 0, c'est-à-dire n(n - 1) = 0 : deux possibilités n = 0 ou n = 1. Le cas n = 0 a été exclu par l'énoncé au tout début.

    Ainsi, si n > 1, il est clair que n4n^4 + n² + 1 est décomposé en un produit de deux entiers différents de 1 : ce sont n² + n + 1 et n² - n + 1. Ce n'est donc pas un nombre premier.

    Pour la dernière question, tu ne nous a pas donné le tableau.



  • Salut
    Tout d'abord, merci de la réponse!

    voici le tableau:


    |n|2|3|4|5|6|9|15|

    |N| | | | | | | | | | |


    Je crois que je n'ai pas suivi tout le résonnement, je vais le reprendre point par point.
    Citation
    si n est entier, alors n² l'est aussi, ainsi que n² - n, et enfin il en va de même pour n² - n + 1.ça ok

    Citation
    Or, puisque n est entier naturel (non nul), on a n² >= n car n >= n1.Jesuppose qu'on le sait avec l'énoncé de l'exercice ? (N = n4n^4 + n2n^2 + 1)

    Citation
    Ainsi n² - n est un entier naturel éventuellement nul (c'est le cas si n = 1)Ok c'est bon!

    (c'est peut-être une question bête!!) mais est-ce que l'on peut le résoudre par une équation?
    Merci de la réponse A+


 

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