Écrire les nombres suivants sous la forme: a+b√n , où a et b sont des nombres rationnels et n∈ ℕ:


  • sosthene Barcelone

    Bonjour je suis sosthene pouvez vous m'aider sur cet exo: Écrire les nombres suivants sous la forme: a+b√n , où a et b sont des nombres rationnels et n∈ ℕ:¹/¹-√⁵


  • mtschoon

    @sosthene-Barcelone , bonjour,

    Ce que tu as écrit est guère lisible...

    S'agit-il de 11−5\dfrac{1}{1-\sqrt 5}151 ou autre chose ?

    Merci de le préciser.


  • sosthene Barcelone

    @mtschoon oui


  • mtschoon

    d'accord,

    Principe : Multiplie numérateur et dénominateur par la quantité conjuguée du dénominateur, pour faire apparaître une identité remarquable.

    11−5=1(1+5)(1−5)(1+5)=1+5(1−5)(1+5)\dfrac{1}{1-\sqrt 5}=\dfrac{1(1+\sqrt 5)}{(1-\sqrt 5)(1+\sqrt 5)}=\dfrac{1+\sqrt 5}{(1-\sqrt 5)(1+\sqrt 5)}151=(15)(1+5)1(1+5)=(15)(1+5)1+5

    Tu sais que (a−b)(a+b)=a2−b2(a-b)(a+b)=a^2-b^2(ab)(a+b)=a2b2

    Donc : (1−5)(1+5)=1−(5)2=....(1-\sqrt 5)(1+\sqrt 5)=1-(\sqrt 5)^2=....(15)(1+5)=1(5)2=.... (calcule et complète)

    Essaie de terminer.

    Au final, tu dois trouver −14−145-\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}\sqrt 541415 donc a=b=−14a=b=-\dfrac{1}{4}a=b=41 et n=5n=5n=5

    Reposte si tu n'y arrives pas.


  • Simon pierre Onivogui

    @mtschoon aitres


  • mtschoon

    @Simon-pierre-Onivogui , BONJOUR

    Ici, la politesse n'est pas une option...

    @Simon-pierre-Onivogui a dit dans Écrire les nombres suivants sous la forme: a+b√n , où a et b sont des nombres rationnels et n∈ ℕ: :

    @mtschoon aitres

    Vraiment, je ne comprends pas ce que tu veux dire...

    Vu que tu as ouvert un post qui a 4 ans, tant que j'y suis, je détaille la fin.

    11−5=1+5(1−5)(1+5)\dfrac{1}{1-\sqrt 5}=\dfrac{1+\sqrt 5}{(1-\sqrt 5)(1+\sqrt 5)}151=(15)(1+5)1+5

    11−5=1+512−(5)2=1+51−5=1+5−4\dfrac{1}{1-\sqrt 5}=\dfrac{1+\sqrt 5}{1^2-(\sqrt 5)^2}=\dfrac{1+\sqrt 5}{1-5}=\dfrac{1+\sqrt 5}{-4}151=12(5)21+5=151+5=41+5

    Au final, on peut écrire :
    11−5=(−14)+(−14)5\dfrac{1}{1-\sqrt 5}=\biggr(-\dfrac{1}{4}\biggr)+\biggr(-\dfrac{1}{4}\biggr)\sqrt 5151=(41)+(41)5

    Conclusion :
    a=b=−14\boxed{a=b=\dfrac{-1}{4}}a=b=41 et n=5\boxed{n=5}n=5

    CQFD


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