Résolution d'un système à 3 inconnues par substitution


  • Aïta KANE

    Bonjour tout le monde
    (X1−2)²+X2²=4( X1-2)²+X2²=4(X12)²+X2²=4
    X2−2a(X1−2)=0X2-2a(X1-2)=0X22a(X12)=0
    X1−2aX2=oX1-2aX2=oX12aX2=o

    X1−2=2aX2X1-2 =2aX2X12=2aX2
    X2−2a(X1−2)=0X2-2a(X1-2)=0X22a(X12)=0
    X2−2a(2aX2)=0X2-2a(2aX2)=0X22a(2aX2)=0
    X2−4a²X2=0X2-4a²X2=0X24a²X2=0

    Après j'ai factoriser par X2
    −4a²+1=0-4a²+1=04a²+1=0
    C'est bon j peux continuer ma résolution ?

    Edit : message modifié par l'admin du forum pour plus de lisibilité, merci


  • N
    Modérateurs

    Bonjour Aïta-KANE,

    Comment as-tu trouvé X1−2=2aX2X_1-2= 2aX_2X12=2aX2 ?
    Car d'après la troisième équation, tu as X1=2aX2X_1=2aX_2X1=2aX2.


  • Aïta KANE

    @Noemi à partir de la deuxième équation
    X2-2a(X1-2)=0
    -2a(X1-2)=-X2
    (X1-2) = X2/2a = 2aX2


  • N
    Modérateurs

    @Aïta-KANE

    X22a\dfrac{X_2}{2a}2aX2 n'est pas égal à 2aX22aX_22aX2

    A partir de la troisième équation, tu poses si X2X_2X2 différent de 0.
    2a=X1X22a=\dfrac{X_1}{X_2}2a=X2X1
    que tu remplaces dans la deuxième équation.


  • Aïta KANE

    @Noemi aah d'accord je vais essayer a nouveau


  • N
    Modérateurs

    @Aïta-KANE
    A partir de 2a=X1X22a=\dfrac{X_1}{X_2}2a=X2X1,
    La deuxième équation devient :
    X2−X1X2(X1−2)=0X_2-\dfrac{X_1}{X_2}(X_1-2)=0X2X2X1(X12)=0

    Multiplie par X2X_2X2. puis isole X22X_2^2X22 que tu remplaces dans la première équation.


  • Aïta KANE

    @Noemi bonjour hier je me suis rappelé que j'avais un exo d'anglais à faire c'est pour ça que j'ai pas pu continuer l'exercice mais je l'a ferai aujourd'hui au moment de ma pause et après je vais le poster pour un correction


  • Aïta KANE

    @Aïta-KANE voila je que jai eu loccasion de faire
    A partir de la 3 équation
    X1-2aX1=0
    2a= X1/X2
    À partir de la 2eme équation
    X2-2a(X1-2)=0
    X2 -X1/X2 (X1-2)=0
    X2²/X2-X1/X2(X1-2)=0
    Puis j'ai simplifier les dénominateur
    X2²-X1(X-2)=0
    X2²=X1(X1-2)
    À partir de la première équation
    (X1-2 )²+ X2²=4
    (X1-2)²+X2²=4
    X1²-2X1+4+X1²-2X1=4
    2X1²-4X1=0
    X1²-2X1=0
    DELTA =4-4(1)(0)
    =4
    x1=0 et x2 =2
    Après je savais pas ou remplacer alors j'ai arrèt et fais mon exercice d'anglais


  • N
    Modérateurs

    @Aïta-KANE

    Des erreurs dans la dernière partie .
    (X1−2)2=X12−4X1+4(X_1-2)^2 = X_1^2-4X_1+4(X12)2=X124X1+4
    Si la première relation est : (X1−2)2+X22=4(X_1-2)^2+X_2^2= 4(X12)2+X22=4
    cela donne : X12−4X1+4+X12−2X1=4X_1^2-4X_1+4+X_1^2-2X_1= 4X124X1+4+X122X1=4
    soit .....


  • Aïta KANE

    @Noemi oh je suis vraiment désolé dans la première équation c'est effectivement
    ( X1-2)²+X2²=4


  • N
    Modérateurs

    @Aïta-KANE

    Si la relation est : (X1−2)2+X22=4(X_1-2)^2+X_2^2= 4(X12)2+X22=4
    cela donne : X12−4X1+4+X12−2X1=4X_1^2-4X_1+4+X_1^2-2X_1= 4X124X1+4+X122X1=4
    soit 2X12−6X1=02X_1^2-6X_1=02X126X1=0 d'ou 2X1(X1−3)=02X_1(X_1-3)=02X1(X13)=0

    je te laisse poursuivre les calculs.


  • Aïta KANE

    @Noemi d'accord merciiiiii j'ai compris cette fois-ci


  • Aïta KANE

    @Noemi s=(0,0,0) (3 ,√3, √3/2) (3, -√3,- √3/2)


  • N
    Modérateurs

    @Aïta-KANE

    C'est juste, précise que tu écris les solutions sous la forme :
    (X1,X2,a)(X_1, X_2, a)(X1,X2,a)


  • Aïta KANE

    @Noemi d'accord merciiii


  • mtschoon

    Bonsoir,

    Je me permets de revenir sur cet exercice. Il est "piégeux"...

    Première chose :
    Je n'ai pas suivi tous les méandres des calculs indiqués mais j'ai vu qu'il y avait une division par X2X_2X2 d'où condition imposée X2≠0\boxed{X_2\ne 0}X2=0
    La conclusionX2=0\boxed{X_2=0}X2=0 qui fait partie du triplet (0,0,0) ne peut pas convenir à cette démonstration.
    Il y a une contradiction .
    Il faudrait faire des calculs sans division par X2X_2X2, pour légitimer le triplet solution (0,0,0) (qui est bien exact) ou bien distinguer deux cas.

    Seconde chose :
    Les triplets (3 ,√3, √3/2) (3, -√3,- √3/2) ne sont pas solutions du système , en utilisant l'équation de départ indiquée préalablement (X1−2)2−(X2)2=4(X_1-2)^2-(X_2)^2=4(X12)2(X2)2=4

    REMARQUE :
    Apparemment, cette équation de départ n'était pas la bonne ! ! !

    Elle vient d'être modifiée par Noemi .
    Il s'agit maintenant de (X1−2)2+(X2)2=4(X_1-2)^2+(X_2)^2=4(X12)2+(X2)2=4
    Dans ce cas , les triplets indiqués sont bien solutions du nouveau système écrit et ma "seconde chose" n'est plus nécessaire...


  • Aïta KANE

    @mtschoon les solutions sont sous la forme :
    (X1,X2,a)
    Si c'est pas ça je comprends plus rien😭


  • Aïta KANE

    @mtschoon la dernière phase de l'équation que j'ai trouvé c'est
    2X1(X1-3)=0
    2X1=0 ou X1-3=0
    X1=0 OU X1=3
    Si X1 =0
    2a=X1/X2
    2a=0/X2
    a=0
    X2²=X1(X1-2)
    X2²=0(0-2)
    X2=0
    Premier triplet(0,0,0)


  • N
    Modérateurs

    Bonsoir Aïta-KANE ,

    La solution que tu as proposée est juste.
    Ne tiens pas compte de la deuxième partie du message de mtschoon car elle n'a pas étudié tous les messages et n'a pas vu la modification de l'énoncé que tu as indiqué.

    Pour la première partie, le cas X2=0X_2= 0X2=0 est à étudier à part car j'ai indiqué dans mon second message que l'équation ne pouvait s'écrire que si X2X_2X2 était différent de 0.
    Si X2=0X_2=0X2=0
    La solution est directe, en partant de la dernière équation, on trouve X1=0X_1=0X1=0 puis à partir de la deuxième équation a=0a=0a=0. Les valeurs de X1X_1X1 et X2X_2X2 trouvées vérifient la première équation.


  • Aïta KANE

    @mtschoon si X1=3
    2a =3/X2
    X2²=X1(X1-2)
    = 3(3-2)
    X2²=3
    X2= √3 ou X2=- √3
    2a =3/ √3
    a = 3/2√3
    Puis j'ai simplifié par l'expression conjugué
    (3/2 √3) ×( √3/ √3)=3 √3/6 = √3 /2
    a = √3/2
    J'ai fais le mn procédé pour si X2= - √3
    Et j'ai trouvé a =- √3/2
    D'où s=(0,0,0)(3, √3, √3/2)(3,- √3,- √3/2)


  • Aïta KANE

    @Noemi ouf j'ai eu peur merciii !🤩😍


  • N
    Modérateurs

    @Aïta-KANE

    N'oublie pas de traiter le cas X2=0X_2=0X2=0.


  • mtschoon

    Bonsoir,

    Oui, conformément à ma première remarque, il faut faire deux cas disjoints : premier cas X2=0X_2=0X2=0 ce qui donne X1=0X_1=0X1=0 et a=0a=0a=0 d'où triplet solution (0,0,0)

    Et ensuite, on peut faire le second cas X2≠0X_2\ne 0X2=0 où l'on peut diviser par X2X_2X2 (dans ce cas , la solution X2=0X_2=0X2=0 est à exclure de ce second cas )

    Cela évite ainsi toute contradiction.

    (On peut, bien sûr, utiliser d'autres méthodes )

    En ce qui concerne l'énoncé , l'énoncé de départ donnait pour première équation
    ( X1-2)²-X2²=4
    C'est de celui-ci dont je parlais dans ma seconde remarque.

    Vu que l'énoncé a changé entre temps, ce serait bien que la "modération" ou @Aïta-KANE modifie l'énoncé écrit au départ, pour éviter toute ambiguïté sur la suite de l'exercice.

    Bonne soirée !


  • mtschoon

    Bonjour,

    Merci Noemi d'avoir indiqué maintenant un énoncé exact.
    Ceux qui viennent consulter l'exercice ne seront pas "perturbés".


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