positivité et croissance d'une suite incluant une racine

Bonjour, voila deja 5 heures que je suis bloqué pour une question alors je me permet de vous ma poster :

Soit (un)n une série a terme positifs .
Soit (vn)n une suite tel que :
v1 =1
2v(n+1) = vn + racine( un + v(n)^2)

La question est la suivante : Montrer que vn est positive et croissante .

Etant donné que racine(a) = |racine(a)| ou -|racine(a)| je bloque..

Merci d'avance

Bonjour Alexandre-Angelin,

$2vn+1−vn=un+vn22v_{n+1}-v_n= \sqrt{u_n+v_n^2}$
vu que $v1=1>0v_1=1\gt0$ et que $u_n)$ est une série à terme positif
$2vn+1−vn>02v_{n+1}-v_n\gt0$

Tu élèves au carré la relation :
$2vn+1−vn=un+vn22v_{n+1}-v_n= \sqrt{u_n+v_n^2}$

Je te laisse poursuivre.

Mais racine de a si a est positif , sa racine ne l'est pas forcement. Je ne comprends donc pas votre réponse

@Alexandre-Angelin

$a\sqrt a$ est le nombre positif qui a pour carré $a$ .
$a$ est un carré, donc un nombre positif.

Bonjour,
@Alexandre-Angelin , si tu as oublié la définition de $a\sqrt a$ , tu peux regarder le cours ici :
https://www.mathforu.com/troisieme/reduction-et-racines-carrees/

Pour montrer que la suite $V_n)$ est à termes positifs, une récurrence (toute simple) convient.

Initailisation : $V_1=1$ donc $Vn≥0V_n\ge 0$

Transitivité : Tu supposes qu'à un ordre n de $N^*$ : $Vn≥0V_n\ge 0$
Vu que $Vn+1=12(Vn+Un+Vn2)V_{n+1}=\dfrac{1}{2}(V_n+\sqrt{U_n+V_n^2})$ , tu ne dois avoir aucune difficulté pour justifier $Vn+1≥0V_{n+1}\ge 0$ ,
d'où la conclusion.

Essaie de poursuivre et tiens nous au courant si besoin.

Bonjour,

Si v(n) > 0, comme racine( un + v(n)^2) > 0, on a vn + racine( un + v(n)^2) > 0
--> 2.v(n+1) > 0
Donc si v(n) > 0 , on a aussi v(n+1) > 0
Comme v1 > 0 ... la suite vn a tous ses termes positifs.

(un + v(n)^2) > v(n)² (puisque un > 0)

racine(un + v(n)^2) > v(n) (puisque tous les u(n) sont > 0)

vn + racine(un + v(n)^2) > 2.v(n)

2v(n+1) > 2.v(n)
v(n+1) > v(n) ... et donc Vn est croissante.

Bonjour,

@Alexandre-Angelin , "de fil en aiguille", comme on dit, tu as eu des solutions à tes deux questions.

Reposte si ce n'est pas clair pour toi.