Développement limité de la fonction réciproque

Bonjour veuillez m'aider svp!
f(x)=2x+sinx

Déterminer un d.l de f à l'ordre 3 à l'origine
Montrer que f est une bijection et que sa bijection réciproque est 3 fois continûment dérivable sur |R
Donnner un d.l d'ordre 3 au voisinage de 0 de la bijection réciproque.

Jai fais les deux premières questions. Mais la dernière je n'arrive pas.

Bonjour Wil-Fried,

Tu as du montrer que la fonction $f$ est strictement croissante , que $f (0) = 0$ et que la fonction est impaire.
Si $g$ est la bijection réciproque, $g (0) = 0$ et la fonction $g$ est impaire.
En posant le d.l. en 0 : $a+bx+c\dfrac{x^2}{2}+d\dfrac{x^3}{6} + \sigma(x^3)$
Exprime $g o f$ et utilise le fait que $g o f = I d$ .

Bonjour,

@Wil-Fried , c'est un peu bizarre.
Quand on répond à tes questions, tu ne donnes pas de retour et on ne sait pas si tu es d'accord, si l'aide donnée te convient, si elle t'a été utile ou non...
Ce serait bien d'y penser.

Je viens de faire les calculs des DL.
Je te donne quelques indications (à vérifier)

Tu as dû trouver à la première question : $f(x)=−x36+3x+o(x3)f(x)=-\dfrac{x^3}{6}+3x+o(x^3)$

J'appelle $f^{-1}$ la bijection réciproque de f (que Noemi a appelé g)

De façon totalement générale, le Dl de $f^{-1}$ s'écrit :
$f^{-1}(y)=a+by+cy^2+dy^3+o(y^3)$

Quelques raccourcis possibles, sans calculs :
$f (0) = 0$ ; $f^{-1}(0)=0$ donc $a = 0$
$f$ est impaire donc $f^{-1}$ est impaire donc $c = 0$

$f^{-1}(y)=by+dy^3+o(y^3)$

$y = f (x)$
$y=−x36+3x+o(x3)y=-\dfrac{x^3}{6}+3x+o(x^3)$
$y^2=9x^2+o(x^3)$
$y^3=27x^3+o(x^3)$
En substituant et en regroupant, on trouve
$f−1(y)=x3(−b3+27d)+3bx+o(x3)f^{-1}(y)=x^3(-\dfrac{b}{3}+27d)+3bx+o(x^3)$
$f−1(f(x))=x3(−b3+27d)+3bx+o(x3)f^{-1}(f(x))=x^3(-\dfrac{b}{3}+27d)+3bx+o(x^3)$
$f^{-1}(f(x))=x+o(x)$
Par identification, sauf erreur, on trouve $b=13b=\dfrac{1}{3}$ et $d=1486d=\dfrac{1}{486}$

d'où $f−1(y)=13y+1486y3+o(y3)f^{-1}(y)=\dfrac{1}{3}y+\dfrac{1}{486}y^3+o(y^3)$
c'est à dire , en conclusion :
$f−1(x)=13x+1486x3+o(x3)f^{-1}(x)=\dfrac{1}{3}x+\dfrac{1}{486}x^3+o(x^3)$

Vérifie ces calculs et tiens nous au courant, si besoin.

@mtschoon Bonjour à vous, je m'excuse pour cela.
J'aimerai savoir pourquoi comme la bijection réciproque est impaire, c= 0 ?
Je comprend pas la résolution à partir de cette ligne svp

@Wil-Fried , je te donne quelques indications pour les raccoucis que j'ai pris.

Si une fonction f est bijective impaire, sa bijection réciproque est impaire.
En principe, c'est une théorème que l'on voit en cours.
Si ce n'est pas le cas, tu as la démonstration ici au paragraphe 63.3.3
http://www.capes-de-maths.com/lecons/lecon63.pdf

Conséquence :
La fonction $f^{-1}$ étant impaire , les coefficients d'ordre pairs de tout DL sont nécessairement nuls.
Ici, le coefficient de $x^2$ est nul : $c = 0$

Bien sûr, tu peux très bien faire les calculs sans utiliser les deux raccourcis indiqués ; c'est tout simplement un peu plus long.

Bons calculs.

@mtschoon merciii, je vous reviens !

De rien @Wil-Fried , à bientôt.

@Noemi bonjour, pouvez-vous m'expliquer plus en detail le fait que f soit une bijection? Merci d'avance

Bonsoir @Adama-Komi ,

Vu que je passe par là, je regarde ta question.

En étudiant les variations de f sur $R$ , tu dois trouver que f est définie, dérivable donc continue et strictement croissante de $]−∞,+∞[]-\infty, +\infty[$ vers $]−∞,+∞[]-\infty, +\infty[$

Donc :

Tout réel x de $R$ (ensemble de départ) a une image y unique dans $R$ (ensemble d'arrivée)
Réciproquement, tout élément y de $R$ (ensemble d'arrivée ) a un antécédent unique x dans $R$ (ensemble de départ)

f est donc une bijection de $R$ vers $R$