Étude d'une fonction intégrale

Bonsoir à vous! Pouvez vous m'aidez svp ?
Soit $f$ : $]0;+∞[]0;+\infty[$ $\implies$ $R\mathbb{R}$
$f(t)=Lntt−1f(t)=\dfrac{Lnt}{t-1}$ si $t≠1t\neq1$ et $f (1) = 1$
Soit $F:]0;+∞[F:]0;+\infty[$ $\implies$ $R\mathbb{R}$ définie par $F(x)=∫xx2f(t)dtF(x)=\int_{x}^{x^2}f(t)dt$
( l'intégrale va de $x$ à $x^2$ , je ne sais pas pourquoi ça n'a pas bien affiché pourtant j'ai respecté la règle de l'écriture. )
1- Etudier la continuité de $f$ sur $]0;+∞[]0;+\infty[$
2 Determiner le signe de $f$ et celui de $F$ sur $]0;+∞[]0;+\infty[$
3-Montrer que $F$ est dérivable et calculer sa dérivée
4-Etudier les variations de $F$ sur $]0;+∞[]0;+\infty[$
J'ai pu faire les deux premières questions, ce sont les questions 3 et 4 que j'arrive pas à faire.
Je me suis d'abord dis que, vu l'expression de $F$ , $F$ serait en réalité une primitive de $f$ sur ] $0;+∞[0;+\infty[$ donc étant une primitive elle est alors dérivable mais ici l'intégrale va de $x$ à $x^2$ du coup ce à quoi j'avais pensé est $f a u x$ .

@Wil-Fried , bonjour,

Je regarde un peu ce qui te pose problème,

Une remarque pour l'écriture de $F (x)$
Ce sont des accolades autour de $x^2$ qui ont manqué.
Sans espaces , il faut écrire $ F(x)=\int_x^{x^2} f(t)dt$ et l'on obtient : $F(x)=∫xx2f(t)dtF(x)=\int_x^{x^2} f(t)dt$

Pour la dérivabilité de F
Je te mets une explication, à améliorer éventuellement,

f est continue sur $]0,+∞[]0,+\infty[$ (question 1)
donc f admet des primitives sur $]0,+∞[]0,+\infty[$
Soit $H$ une de ses primitives
Pour tout x de $]0,+∞[]0,+\infty[$ , $∫xx2f(t)dt=H(x2)−H(x)\int_x^{x^2} f(t)dt=H(x^2)-H(x)$

$x$ -> $H (x)$ est dérivable sur $]0,+∞[]0,+\infty[$ puisque $H$ est une primitive de $f$

La fonction $x$ -> $x^2$ est est dérivable sur $]0,+∞[]0,+\infty[$ et renvoie une image sur $]0,+∞[]0,+\infty[$
$H$ est dérivable sur $]0,+∞[]0,+\infty[$ , vu que c'est une primitive de $f$ (déjà dit)

Une composée de deux fonctions dérivables est dérivable donc $x$ -> $H(x^2)$ est dérivable sur $]0,+∞[]0,+\infty[$

La différence de deux fonctions dérivables est dérivable, donc on en déduit que $F$ est dérivable sur $]0,+∞[]0,+\infty[$

Pour le calcul de $F^{'} (x)$

$F(x)=H(x^2)-H(x)$

$H′(x)=ln(x)x−1H'(x)=\dfrac{ln(x)}{x-1}$

Pour dériver $H(x^2)$ , on utilise la dérivée d'une fonction composée, ce qui donne $2xH'(x^2)$

Donc : $F'(x)=2xH'(x^2)-H'(x)$

Au final, $F′(x)=2x(ln(x2)x2−1)−ln(x)x−1F'(x)=2x\biggl(\dfrac{ln(x^2)}{x^2-1}\biggl)-\dfrac{ln(x)}{x-1}$

Tu dois maintenant, pour répondre à la question 4) :
Simplifier/transformer l'écriture de $F^{'} (x)$ et la factoriser au mieux.
Ainsi, tu dois pouvoir, suivant x, trouver le signe de $F^{'} (x)$ et en déduire le sens de variation de $F$

Je te laisse faire (je n'ai cherché la question 4)

Bon travail.

@mtschoon Ohh merciii très belle explication
Je fais les variations, vous allez vérifier par la suite.

@Wil-Fried ,
Tu peux donner les variations, si tu le souhaites.

Bonjour,

Pour vérification éventuelle,

$F^{'} (x)$ peut se transformer :

$F′(x)=4xln(x)x2−1−ln(x)x−1F'(x)=\dfrac{4xln(x)}{x^2-1}-\dfrac{ln(x)}{x-1}$

$F′(x)=4xln(x)x2−1−(lnx)(x+1)x2−1F'(x)=\dfrac{4xln(x)}{x^2-1}-\dfrac{(lnx)(x+1)}{x^2-1}$

$F′(x)=(ln(x))(3x−1)x2−1F'(x)=\dfrac{(ln(x))(3x-1)}{x^2-1}$

Un tableau de signes pour $x∈]0,+∞[x\in]0,+\infty[$ , permet de trouver sans difficulté le signe de $F^{'} (x)$ d'où les variations de $F$

@mtschoon Bonjour, je trouve :
F décroissante sur ]0;1/3]
F croissante sur [1/3;1[ et sur ]1;+00[

@Wil-Fried, Bonjour,

Les variations sont correctes.

@Wil-Fried , bonjour,

De rien pour les explications ! J'espère qu'elles t'ont convenues.
Comme te l'a dit Noemi, c'est bon pour les variations de F.

Bonne journée .

@Noemi Super! Merci

Il était très intéressant cet exercice,@Wil-Fried .
J'espère que tu l'as bien approfondi.

@mtschoon Oui effectivement ! Merciii encore et bonne journée à vous!

De rien @Wil-Fried et bonne journée à toi.