Démontrer des relations (équations, inéquations)

j'ai besoin d'aide c'est urgent !!!
comment demontrer cette identite?
𝒂^𝒏−𝒃^𝒏=(𝒂−𝒃)(𝒂^𝒏−𝟏+𝒂^𝒏−𝟐𝒃+⋯+𝒂𝒃^𝒏−𝟐+𝒃^𝒏−𝟏)
comment résoudre cet exercice
Montrer que ∀𝑥,𝑦∈[0,1],𝑥2+𝑦2−𝑥𝑦 ≤1
2) Montrer que pour tout 𝑥,𝑦,𝑎 et 𝑏 des réels positifs non nuls. si 𝑥𝑦<𝑎𝑏 , alors 𝑥𝑦<𝑥+𝑎𝑦+𝑏<𝑎𝑏.
3) Montrer que pour tout n entier non nul et 𝑥1,𝑥2,𝑥3,…,𝑥𝑛 des réels positifs, on a :
Π(1+𝑥𝑘)≥1+Σ𝑥𝑘 .𝑛𝑘=1𝑛𝑘=1

et comment verifier ses inegalités
|𝑢𝑥−𝑣𝑦|≤√(𝑥²+𝑦²)(𝑢²+𝑣²) ,
(𝟑) |𝑥+𝑦|1+|𝑥+𝑦|≤|𝑥|1+|𝑥|+|𝑦|1+|𝑦|,
merci .

Bonsoir Maria-T, (Marque de politesse à ne pas oublier !!!)

Indique tes éléments de réponse et la question qui te pose problème.

Pour la question 1) si $a = b$ que vaut $a^n-b^n$ ?
Qu'en déduit-on ?

Tu peux faire une démonstration par récurrence.

Bonjour,

@Maria-T , je te conseille de poser tes questions avec suffisamment d'avance et pas de façon "urgente"...
Les intervenants ne sont pas sur le forum en permanence !

De plus, tu as, en fait, au moins trois exercices indépendants.
Ici, pour des raisons de clarté, on pose un exercice par discussion.

Une autre idée possible pour la 1), si ça te convient : utiliser la somme des n premiers termes de la suite géométrique de premier terme 1 et de raison $x$
(pour $x≠1x\ne 1$ )

$1+x+x2+...+xn−1=1−xn1−x1+x+x^2+...+x^{n-1}=\dfrac{1-x^n}{1-x}$

D'où $1-x^n=(1-x)(1+x+..+x^{n-1})$ (égalité encore vraie pour $x = 1$ )

On remplace $x$ par $ba\dfrac{b}{a}$ :

$1−bnan=(1−ba)(1+ba+..+bn−1an−1)1-\dfrac{b^n}{a^n}=\biggl(1-\dfrac{b}{a}\biggl)\biggl(1+\dfrac{b}{a}+..+\dfrac{b^{n-1}}{a^{n-1}}\biggl)$

En multipliant chaque membre par $a^n$ , on obtient l'égalité demandée.

Remarque : ce calcul nécessite les conditions $a≠0a\ne 0$
Le cas $a = 0$ (à faire séparément ) est trivial ; la formule à prouver ce ramène alors à : $b^n=-b(b^{n-1}$ ), donc vraie.