Décomposition d'un entier sous la forme d'une combinaison linéaire d'entiers

Bonjour à tous! Veuillez m'aider svp...

On note $P$ l’ensemble des nombres entiers pairs strictement positifs. Soit $n$ un élément
de $P$ . On cherche à écrire $n$ sous la forme d’une combinaison linéaire des $n - 1$ entiers qui le
précèdent, c’est-à-dire $1, 2, 3, . . . ., n - 2, n - 1,$ tous les coefficients de cette combinaison
n’étant que $+ 1$ ou $- 1$ . Par exemple, on a
$4 = ((- 1) \times 1) + (1 \times 2) + (1 \times 3) .$
En termes plus mathématiques, on cherche pour chaque $\in P$ une décomposition de la forme :

$(E)$ $\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}$ $εk\varepsilon k$ $K$ où le symbole $εk\varepsilon k$ ( je précise que le $k$ est en indice du $ε\varepsilon$ ,je savais pas comment faire ça) est le coefficient $+ 1$ ou $- 1$ affecté à l'entier $K$ .
1- La décomposition d'un entier $n∈Pn\in P$ est-elle unique ?
2- Déterminer le sous-ensemble de $P$ pour lequel existe une décomposition de type $(E)$ .
Cette fois ci je comprend rien à l'exercice!

Bonjour Wil-Fried,

Pour la question 1, il faut donner un contre exemple
Pour l'entier 8
$8=(1×1)+(1×2)+(1×3)+((−1)×4)+(1×5)+((−1)×6)+(1×7)8=(1\times1)+(1\times 2)+(1\times3)+((-1)\times4)+(1\times5)+((-1)\times6)+(1\times7)$
ou
$8=(1×1)+((−1)×2)+((−1)×3)+(1×4)+((−1)×5)+(1×6)+(1×7)8=(1\times1)+((-1)\times 2)+((-1)\times3)+(1\times4)+((-1)\times5)+(1\times6)+(1\times7)$
ou
$8=((−1)×1)+(1×2)+(1×3)+((−1)×4)+((−1)×5)+(1×6)+(1×7)8=((-1)\times1)+(1\times 2)+(1\times3)+((-1)\times4)+((-1)\times5)+(1\times6)+(1\times7)$
ou
...

Je te laisse conclure pour la question 1 et réfléchir à la question 2.

Bonjour @Noemi
Merci beaucoup ! Pour la question 1, j'en conclus qu'il n'y a pas de décomposition unique.
Je réfléchis à présent à la seconde question.

@Wil-Fried

Analyse dans quel cas la décomposition n'est pas possible.

Svp @Noemi, je comprend pas

@Wil-Fried

As-tu essayé avec 6, 10 et 12 ?

@Noemi Pour la question 1, j'ai problème sur comment affecter les coefficients $+ 1$ ou $- 1$ pendant la décomposition.

@Wil-Fried

Il faut que tu procèdes par essais.

Bonjour,

@Wil-Fried , j'ai l'impression de ton topic est vraiment à l'arrêt !
je regarde de quoi il s'agit et je te donne quelques pistes possibles à laquelles je pense..

Remarque 1 :
Pour écrire la formule de (E) en Latex, tu dois écrire, sans espaces
$ \displaystyle n=\sum_{k=1}^{n-1}\epsilon_k k$ et tu obtiens $n=∑k=1n−1ϵkk\displaystyle n=\sum_{k=1}^{n-1}\epsilon_kk$

Remarque 2 :
Pour faire simple dans les écritures, j'écris seulement les naturels précédés de "+" lorsque $ϵk\epsilon_k$ vaut +1 , et précédés de "-" lorsque $ϵk\epsilon_k$ vaut -1 .
Cela me semble ainsi plus compréhensible.

L'exemple de 4 donné dans l'énoncé s'écrit ainsi
$4 = 3 + 2 - 1$
J'utilise cette idée pour transformer n:
$n=(n−1)+(n−2)−(n−3)\boxed{n=(n-1)+(n-2)-(n-3)}$

Remarque 3 :
La question 1), à laquelle tu as répondu, nous permet de décomposer $n$ à notre guise, vu que la décomposition n'est pas unique.
Je pense que c'est le but de cette question 1), qui aide ainsi à traiter la question 2)

Je te fais une suggestion en utilisant la formule encadrée, mais tu peux certainement utiliser d'autres stratégies (je n'en ai pas cherché d'autres)

Dans ma proposition, la somme des 3 premiers termes vaut n, donc la somme des termes suivants doit valoir 0.

Quelques exemples

Pour n=12 :
$n = (11 + 10 - 9) + (8 - 7 - 6 + 5) + (4 - 3 - 2 + 1)$
Ainsi
$n = n + 0 + 0$ ce qui est exact.
Cette décomposition convient donc 12 fait partie du sous-ensemble de P cherché.
J'utilise cette idée pour transformer ce type d'expression :
$m−(m−1)−(m−2)+(m−3)=0\boxed{m-(m-1)-(m-2)+(m-3)=0}$

J'applique la même stratégie pour n=14
$14 = (13 + 12 - 11) + (10 - 9 - 8 + 7) + (6 - 5 - 4 + 3) + (. . . 2 . . . 1)$
Cette décomposition ainsi écrite est impossible car cela donne : $14 = 14 + 0 + 0 + (. . . 2 . . . 1)$
Que l'on donne aux ... la valeur + ou la valeur -, l'égalité est fausse.
14 ne convient pas.

Pour te faire une idée, tu peux, avec cette méthode, voir ce qui se passe pour les premières valeurs de n
n=2, n=4, n=6, n=8, n=10, n=12, n=14, 16, 18, 20, etc, et tu dois pouvoir conjecturer la nature des valeurs de n qui satisfont à la question.

Pour généraliser cette méthode de décomposition (car conjecturer ne suffit pas), il faut que $n$ puisse s'écrire sous la forme de [(n-1)+(n-2)-(n-3)] + p groupes de la forme $[[m - (m - 1) - (m - 2) + (m + 3)]$
Tu pourras en déduire l'expression de n qui doit correspondre à ta conjecture.
Tu pourras assurer que les valeurs de n trouvées font partie du sous ensemble de P cherché.

En toute rigueur, il restera quelque chose à faire : prouver que les valeurs de $n$ ne satisfaisant pas au type de décomposition utilisée ne conviennent à aucun autre type de décomposition.
En bref, il faudra prouver que seules les valeurs trouvées conviennent.

Quand tout cela sera fait, tu pourras conclure exactement sur le sous-ensemble de P cherché.

Bonnes réflexions.
Cet exercice me semble bien "singulier"...

@Wil-Fried , reposte si tu as besoin de plus d'explications, et/ou indiquer ta conjecture et/ou indiquer ta démonstration.

Tu pourras aussi modifier le titre de ton topic, pour qu'il corresponde au sujet (du genre "étude relative aux naturels pairs", ou quelque chose de semblable)

Bonjour,

Merci @Wil-Fried, d'avoir modifié ton titre.

Pour consultation éventuelle , pour les conclusions à prouver.

a) D'après les test faits, on peut conjecturer que les nombres n, non nuls, multiples de 4, peuvent se mettre sous la forme d’une combinaison linéaire des n−1 entiers qui précède n.

Démonstration de cette conjecture, en utilisant la décomposition précédente : n décomposé en 3 premiers termes (de somme n) et des (n-4) suivants (de somme 0)

$n=[(n−1)+(n−2)−(n−3)]+∑n−4n−4[m−(m−1)−(m−2)+(m+3)]\displaystyle n= [(n-1)+(n-2)-(n-3)] +\sum _{n-4}^{n-4}[m−(m−1)−(m−2)+(m+3)]$
Les $(n - 4)$ derniers termes doivent se mettre sous la forme de p groupes de 4 , c'est à dire :
pour $p$ naturel ,
$n - 4 = p (4)$ <=> $n = 4 p + 4$ <=> $n = 4 (p + 1)$
c'est à dire n, non nul, multiple de 4.

Conclusion : l'ensemble de naturels, non nuls, multiples de 4, font partie du sous ensemble de P cherché.

b) D'après les tests faits, on peut conjecturer que les nombres n , non nuls, non multiples de 4, ne peuvent se mettre sous la forme d’une combinaison linéaire des n−1 entiers qui précède n.

On ne peut pas seulement utiliser la décomposition précédente ( n décomposé en 3 premiers termes ( de somme n) et des (n-4) suivants (de somme 0)) car ce n'est pas la seule décomposition possible.
Il faut faire un raisonnement général.

Une démonstration de cette conjecture, en utilisant la parité .
Soit n , non nul, non multiple de 4.

i) Cherchons si la décomposition est possible avec exclusivement des signes +:
$n = (n - 1) + (n - 2) + . . . + 4 + 3 + 2 + 1$ (***)
Le membre de droite est la somme S des (n-1) premiers nombres naturels non nuls :
d'où :
$n=n(n−1)2n=\dfrac{n(n-1)}{2}$
$n=n2(n−1)n=\dfrac{n}{2}(n-1)$

Le membre de gauche ( $n$ ) est pair.
Le membre de droite est impair.
explication :
vu que $n$ est pair, $(n - 1$ ) est impair
vu que $n$ est non multiple de 4 , $n2\dfrac{n}{2}$ est impair.
(si $n2\dfrac{n}{2}$ était pair, alors $n2=2p\dfrac{n}{2} =2p$ c'est à dire $n = 4 p$ d'où contradiction)

Le produit de deux naturels impairs est impair , donc (***) est impossible.

ii) En changeant un signe + de (***) en signe - à un terme k de la somme S, on supprime 2k à cette somme S.

La somme devient : $n(n−1)2−2k\dfrac{n(n-1)}{2}-2k$
Cette nouvelle somme est encore impaire ( car la différence d'un naturel impair avec un naturel pair ) est impaire.
donc, encore impossibilité.

Comme cela se produit à chaque fois qu'on change un signe + de la somme S en signe -, tous les cas sont impossibles.

Conclusion : lorsque n est non nul et non multiple de 4, il n'existe aucune décomposition satisfaisante.
L'ensemble de naturels, non nuls, non multiples de 4 ne font partie du sous-ensemble de P cherché.

BILAN :
Le sous ensemble de P cherché est l'ensemble des naturels non nuls, multiples de 4.

Bonne lecture éventuelle.

@Wil-Fried bonjour vraiment j'arrive pas à comprendre la 1ere question même d'abord

@Segueda-bertille Bonjour,

Regarde les exemples donnés dans ma première réponse.

@Noemi okok merci

Bonjour,

@Segueda-bertille , pour la question 1, comme te le dit Noemi, regarde l'exemple de 8.

Noemi a donné 3 décompositions avec les notations de l'énoncé .

Comme je l'ai fait par la suite, pour faire simple dans les écritures, j'écris seulement les naturels précédés de "+" lorsque $ϵk\epsilon_k$ vaut +1 et précédés de "-" lorsque $ϵk\epsilon_k$ vaut -1.

Ainsi les trois exemples de décomposition de 8 s'écrivent :
$8 = 1 + 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7$
$8 = 1 - 2 - 3 + 4 - 5 + 6 + 7$
$8 = - 1 + 2 + 3 - 4 - 5 + 6 + 7$

Bonne lecture!

@Segueda-bertille

Si tu as d'autres questions, n'hésite pas.

@Noemi donc si j'ai compris on passe par tâtonnements en ce qui concerne là ou placé (-1) ou (+1) ??

@Segueda-bertille , la méthode par "tâtonnements " permet seulement de conjecturer.

Lorsqu'il s'agit de faire une démonstration (pour la question 2) , il faut forcément trouver une stratégie.

@mtschoon d'accord

@Segueda-bertille ,pour la question 2), si une démonstration t'intéresse, je l'ai proposée avec la décomposition
$n=(n−1)+(n−2)−(n−3)+∑m=4n−4[m−(m−1)−(m−2)+(m−3)]\displaystyle n=(n-1)+(n-2)-(n-3)+\sum_{m=4}^{n-4}[m-(m-1)-(m-2)+(m-3)]$

Bien sûr, tu peux chercher une autre stratégie !

Bonne lecture.

@mtschoon voilà merci beaucoup

@Segueda-bertille , de rien !
C'est très bien de t'être intéressé(e) à cet exercice un peu "curieux".

@mtschoon

@mtschoon Bonjour à vous!! Merci beaucoup pour vos explications Et aussi, je voudrais signifier que j'avais eu un soucis avec mon téléphone.. voilà pourquoi j'ai mis tant de temps à répondre.

@Wil-Fried , @Segueda-bertille , bonjour,

De rien pour les explications.
Il était un peu curieux cet exercice.

Bonne journée !