A quoi égal arctan(x)+arctan(1/x)

@Maro-Uane Bonsoir (Marque de politesse à ne pas oublier !!)
$\dfrac{\pi}{2}$ si $x>0x\gt 0$

$-\dfrac{\pi}{2}$ si $x<0x\lt 0$

Bonjour,

@Maro-Uane , si une démonstration possible t'intéresse,

Pour $x≠0x\ne 0$ , $f(x)=arctan(x)+arctan(1x)f(x)=arctan(x)+arctan(\dfrac{1}{x})$

Calcul de la dérivée :

$f′(x)=11+x2+(1x)′1+1x2=11+x2+−1x21+1x2f'(x)=\dfrac{1}{1+x^2}+\dfrac{(\dfrac{1}{x})'}{1+\dfrac{1}{x^2}}=\dfrac{1}{1+x^2}+\dfrac{\dfrac{-1}{x^2}}{1+\dfrac{1}{x^2}}$

$f′(x)=11+x2−11+x2=0f'(x)=\dfrac{1}{1+x^2}-\dfrac{1}{1+x^2}=0$

f est donc constante sur $]−∞,0[]-\infty,0[$ et $]0,+∞[]0,+\infty[$

Une valeur donnée à $x$ permet de trouver l'expression de $f (x)$

Pour $x = 1$ ,
$f(1)=arctan(1)+arctan(1)=π4+π4=π2f(1)=arctan(1)+arctan(1)=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{2}$
Donc, pour $x∈]0,+∞[\boxed{x\in ]0,+\infty[}$ ,
$arctan(x)+arctan(1x)=π2arctan(x)+arctan(\dfrac{1}{x})=\boxed{\dfrac{\pi}{2}}$

Pour $x = - 1$ ,
$f(−1)=arctan(−1)+arctan(−1)=−π4−π4=−π2f(-1)=arctan(-1)+arctan(-1)=-\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\pi}{4}=-\dfrac{\pi}{2}$
Donc, pour $x∈]−∞,0[\boxed{x\in ]-\infty, 0[}$ ,
$arctan(x)+arctan(1x)=−π2arctan(x)+arctan(\dfrac{1}{x})=\boxed{-\dfrac{\pi}{2}}$