Ordre dans R, résolution d'inéquations
-
Bonjour
tout d'abord c'est ma première participation ,j'aimerais bien avoir une solution a cet exercice car j'ai essayé beaucoup de fois
l'énoncé est:
a et b deux reéls strictement positifs
montrer que : 0<a+b−a<ba2a0\lt \sqrt{a+b}-\sqrt{a} \lt \dfrac{b\sqrt{a}}{2a}0<a+b−a<2abaInéquation modifiée en latex par la modération.
-
@Ordi-Touali , bonjour,
Tu devrais revoir l'écriture de ta question, car la fin est guère compréhensible.
"montrer que la racine crée de a+b est compris entre 0 et bracine de a sur 2a" ? ? ?
-
Ce message a été supprimé !
-
Ce message a été supprimé !
-
Ce message a été supprimé !
-
Ce message a été supprimé !
-
Je pense que tu doit comparer √a+b -√a le tout au caré et b√a/2a le tout au carré
-
Qui est d'accord
-
@Rim-Touali Bonsoir,
Si la question est : Sachant que aaa et bbb sont des entiers strictement positifs
Montrer que : 0<a+b−a<ba2a0\lt \sqrt{a+b}-\sqrt{a} \lt \dfrac{b\sqrt{a}}{2a}0<a+b−a<2abaa<a+ba \lt a+ba<a+b alors a<a+b\sqrt{a} \lt \sqrt{a+b} a<a+b donc 0<a+b−a0 \lt \sqrt{a+b}-\sqrt{a} 0<a+b−a
si a+b−a<ba2a\sqrt{a+b}-\sqrt{a} \lt \dfrac{b\sqrt{a}}{2a}a+b−a<2aba
alors a+b<ba2a+a=b+2a2a\sqrt{a+b} \lt \dfrac{b\sqrt{a}}{2a}+ \sqrt{a} = \dfrac {b+2a}{2\sqrt{a}}a+b<2aba+a=2ab+2a
Di on élève au carré :
a+b<(b+2a)24aa + b \lt \dfrac{(b+2a)^2}{4a}a+b<4a(b+2a)2
soit 4a(a+b)<b2+4a2+4ab4a(a+b) \lt b^2+4a^2+4ab4a(a+b)<b2+4a2+4ab
4a2+4ab<b2+4a2+4ab4a^2+4ab \lt b^2+4a^2+4ab4a2+4ab<b2+4a2+4ab
0<b20 \lt b^20<b2D'ou la conclusion.
-
Bonjour,
@Ordi-Touali, peut-être que la modération fera un peu de ménage dans ton topic et le changera de rubrique car il ne correspond pas au programme de cinquième français...
Je te mets une autre piste possible pour prouver que , pour aaa et bbb entiers strictement positifs,
a+b−a<ba2a\sqrt{a+b}-\sqrt a\lt\dfrac{b\sqrt a}{2a}a+b−a<2abaTu peux simplifier chaque membre séparément .
En utilisant le conjuqué :
a+b−a=(a+b−a)(a+b+a)(a+b+a)\sqrt{a+b}-\sqrt a=\dfrac{(\sqrt{a+b}-\sqrt a)(\sqrt{a+b}+\sqrt a)}{(\sqrt{a+b}+\sqrt a)}a+b−a=(a+b+a)(a+b−a)(a+b+a)
a+b−a=(a+b)2−(a)2(a+b+a)=a+b−a(a+b+a)\sqrt{a+b}-\sqrt a=\dfrac{(\sqrt{a+b})^2-(\sqrt a)^2}{(\sqrt{a+b}+\sqrt a)}=\dfrac{a+b-a}{(\sqrt{a+b}+\sqrt a)}a+b−a=(a+b+a)(a+b)2−(a)2=(a+b+a)a+b−a
a+b−a=ba+b+a\sqrt{a+b}-\sqrt a=\boxed{\dfrac{b}{\sqrt{a+b}+\sqrt a}}a+b−a=a+b+abba2a=b2a\dfrac{b\sqrt a}{2a}=\boxed{\dfrac{b}{2\sqrt a}}2aba=2ab
Conséquence :
a+b+a>a+a\sqrt{a+b}+\sqrt a\gt \sqrt a+\sqrt aa+b+a>a+a donc a+b+a>2a\sqrt{a+b}+\sqrt a\gt 2\sqrt aa+b+a>2a
donc
ba+b+a<b2a\dfrac{b}{\sqrt{a+b}+\sqrt a}\lt \dfrac{b}{2\sqrt a }a+b+ab<2ab
d'où la réponse souhaitée.Tu as le choix !
-
Merci Noemi d'avoir re-écrit l'énoncé correctement et d'avoir déplacé ce topic.
-
@mtschoon merci pour votre aide
-
De rien @Ordi-Touali .
C'est très bien si tu as compris.
-
@Rim-Touali. Y a t_il Une solution plus simple?
-
@Rim-Touali Bonjour,
En quelle classe es-tu ?
Pour démontrer que a+b−a<ba2a\sqrt{a+b}-\sqrt{a} \lt\dfrac{b\sqrt{a}}{2a}a+b−a<2aba
Tu peux aussi chercher le signe de a+b−a−ba2a\sqrt{a+b}-\sqrt{a} - \dfrac{b\sqrt{a}}{2a}a+b−a−2aba
soit de : a+b−a(1+b2a)\sqrt{a+b}-\sqrt{a} (1+ \dfrac{b}{2a})a+b−a(1+2ab)
En multipliant cette expression par son conjugué : a+b+a(1+b2a)\sqrt{a+b}+\sqrt{a} (1+ \dfrac{b}{2a})a+b+a(1+2ab) qui est strictement positif, on obtient :
a+b−a(1+b2a)2=a+b−a−b−b24a=−b24aa+b-a (1+ \dfrac{b}{2a})^2 = a+b-a-b-\dfrac{b^2}{4a} = -\dfrac{b^2}{4a}a+b−a(1+2ab)2=a+b−a−b−4ab2=−4ab2 donc strictement négatif.
-
Bonjour,
@Rim-Touali , je ne vois que deux techniques pour faire la démonstration .
Plus précisément, je n'en vois pas d'autres...X et Y étant strictement positifs,
Ou bien, tu fais une élévation au carré
Rappel :
X<YX\lt YX<Y <=> X2<Y2X^2\lt Y^2X2<Y2Ou bien tu transformes avec la quantité conjuguée.
Rappel :
X−Y=(X−Y)(X+Y)X+Y\sqrt X-\sqrt Y=\dfrac{(\sqrt X-\sqrt Y)(\sqrt X+\sqrt Y)}{\sqrt X+\sqrt Y}X−Y=X+Y(X−Y)(X+Y)
Donc :
X−Y=X−YX+Y\sqrt X-\sqrt Y=\dfrac{X-Y}{\sqrt X+\sqrt Y}X−Y=X+YX−YJ'imagine que ces méthodes ont été vues en cours, vu la question posée.
Bon courage !