Ordre dans R, résolution d'inéquations


  • Ordi Touali

    Bonjour
    tout d'abord c'est ma première participation ,j'aimerais bien avoir une solution a cet exercice car j'ai essayé beaucoup de fois
    l'énoncé est:
    a et b deux reéls strictement positifs
    montrer que : 0<a+b−a<ba2a0\lt \sqrt{a+b}-\sqrt{a} \lt \dfrac{b\sqrt{a}}{2a}0<a+ba<2aba

    Inéquation modifiée en latex par la modération.


  • mtschoon

    @Ordi-Touali , bonjour,

    Tu devrais revoir l'écriture de ta question, car la fin est guère compréhensible.
    "montrer que la racine crée de a+b est compris entre 0 et bracine de a sur 2a" ? ? ?


  • Ordi Touali

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  • Ordi Touali

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  • Ordi Touali

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  • Ordi Touali

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  • Rim Touali

    Je pense que tu doit comparer √a+b -√a le tout au caré et b√a/2a le tout au carré


  • Rim Touali

    Qui est d'accord


  • N
    Modérateurs

    @Rim-Touali Bonsoir,

    Si la question est : Sachant que aaa et bbb sont des entiers strictement positifs
    Montrer que : 0<a+b−a<ba2a0\lt \sqrt{a+b}-\sqrt{a} \lt \dfrac{b\sqrt{a}}{2a}0<a+ba<2aba

    a<a+ba \lt a+ba<a+b alors a<a+b\sqrt{a} \lt \sqrt{a+b} a<a+b donc 0<a+b−a0 \lt \sqrt{a+b}-\sqrt{a} 0<a+ba

    si a+b−a<ba2a\sqrt{a+b}-\sqrt{a} \lt \dfrac{b\sqrt{a}}{2a}a+ba<2aba
    alors a+b<ba2a+a=b+2a2a\sqrt{a+b} \lt \dfrac{b\sqrt{a}}{2a}+ \sqrt{a} = \dfrac {b+2a}{2\sqrt{a}}a+b<2aba+a=2ab+2a
    Di on élève au carré :
    a+b<(b+2a)24aa + b \lt \dfrac{(b+2a)^2}{4a}a+b<4a(b+2a)2
    soit 4a(a+b)<b2+4a2+4ab4a(a+b) \lt b^2+4a^2+4ab4a(a+b)<b2+4a2+4ab
    4a2+4ab<b2+4a2+4ab4a^2+4ab \lt b^2+4a^2+4ab4a2+4ab<b2+4a2+4ab
    0<b20 \lt b^20<b2

    D'ou la conclusion.


  • mtschoon

    Bonjour,

    @Ordi-Touali, peut-être que la modération fera un peu de ménage dans ton topic et le changera de rubrique car il ne correspond pas au programme de cinquième français...

    Je te mets une autre piste possible pour prouver que , pour aaa et bbb entiers strictement positifs,
    a+b−a<ba2a\sqrt{a+b}-\sqrt a\lt\dfrac{b\sqrt a}{2a}a+ba<2aba

    Tu peux simplifier chaque membre séparément .
    En utilisant le conjuqué :
    a+b−a=(a+b−a)(a+b+a)(a+b+a)\sqrt{a+b}-\sqrt a=\dfrac{(\sqrt{a+b}-\sqrt a)(\sqrt{a+b}+\sqrt a)}{(\sqrt{a+b}+\sqrt a)}a+ba=(a+b+a)(a+ba)(a+b+a)
    a+b−a=(a+b)2−(a)2(a+b+a)=a+b−a(a+b+a)\sqrt{a+b}-\sqrt a=\dfrac{(\sqrt{a+b})^2-(\sqrt a)^2}{(\sqrt{a+b}+\sqrt a)}=\dfrac{a+b-a}{(\sqrt{a+b}+\sqrt a)}a+ba=(a+b+a)(a+b)2(a)2=(a+b+a)a+ba
    a+b−a=ba+b+a\sqrt{a+b}-\sqrt a=\boxed{\dfrac{b}{\sqrt{a+b}+\sqrt a}}a+ba=a+b+ab

    ba2a=b2a\dfrac{b\sqrt a}{2a}=\boxed{\dfrac{b}{2\sqrt a}}2aba=2ab

    Conséquence :
    a+b+a>a+a\sqrt{a+b}+\sqrt a\gt \sqrt a+\sqrt aa+b+a>a+a donc a+b+a>2a\sqrt{a+b}+\sqrt a\gt 2\sqrt aa+b+a>2a
    donc
    ba+b+a<b2a\dfrac{b}{\sqrt{a+b}+\sqrt a}\lt \dfrac{b}{2\sqrt a }a+b+ab<2ab
    d'où la réponse souhaitée.

    Tu as le choix !


  • mtschoon

    Merci Noemi d'avoir re-écrit l'énoncé correctement et d'avoir déplacé ce topic.


  • Ordi Touali

    @mtschoon merci pour votre aide


  • mtschoon

    De rien @Ordi-Touali .
    C'est très bien si tu as compris.


  • Rim Touali

    @Rim-Touali. Y a t_il Une solution plus simple?


  • N
    Modérateurs

    @Rim-Touali Bonjour,

    En quelle classe es-tu ?

    Pour démontrer que a+b−a<ba2a\sqrt{a+b}-\sqrt{a} \lt\dfrac{b\sqrt{a}}{2a}a+ba<2aba
    Tu peux aussi chercher le signe de a+b−a−ba2a\sqrt{a+b}-\sqrt{a} - \dfrac{b\sqrt{a}}{2a}a+ba2aba
    soit de : a+b−a(1+b2a)\sqrt{a+b}-\sqrt{a} (1+ \dfrac{b}{2a})a+ba(1+2ab)
    En multipliant cette expression par son conjugué : a+b+a(1+b2a)\sqrt{a+b}+\sqrt{a} (1+ \dfrac{b}{2a})a+b+a(1+2ab) qui est strictement positif, on obtient :
    a+b−a(1+b2a)2=a+b−a−b−b24a=−b24aa+b-a (1+ \dfrac{b}{2a})^2 = a+b-a-b-\dfrac{b^2}{4a} = -\dfrac{b^2}{4a}a+ba(1+2ab)2=a+bab4ab2=4ab2 donc strictement négatif.


  • mtschoon

    Bonjour,

    @Rim-Touali , je ne vois que deux techniques pour faire la démonstration .
    Plus précisément, je n'en vois pas d'autres...

    X et Y étant strictement positifs,

    Ou bien, tu fais une élévation au carré
    Rappel :
    X<YX\lt YX<Y <=> X2<Y2X^2\lt Y^2X2<Y2

    Ou bien tu transformes avec la quantité conjuguée.
    Rappel :
    X−Y=(X−Y)(X+Y)X+Y\sqrt X-\sqrt Y=\dfrac{(\sqrt X-\sqrt Y)(\sqrt X+\sqrt Y)}{\sqrt X+\sqrt Y}XY=X+Y(XY)(X+Y)
    Donc :
    X−Y=X−YX+Y\sqrt X-\sqrt Y=\dfrac{X-Y}{\sqrt X+\sqrt Y}XY=X+YXY

    J'imagine que ces méthodes ont été vues en cours, vu la question posée.

    Bon courage !


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