Ordre dans R, résolution d'inéquations

Bonjour
tout d'abord c'est ma première participation ,j'aimerais bien avoir une solution a cet exercice car j'ai essayé beaucoup de fois
l'énoncé est:
a et b deux reéls strictement positifs
montrer que : $0<a+b−a<ba2a0\lt \sqrt{a+b}-\sqrt{a} \lt \dfrac{b\sqrt{a}}{2a}$

Inéquation modifiée en latex par la modération.

@Ordi-Touali , bonjour,

Tu devrais revoir l'écriture de ta question, car la fin est guère compréhensible.
"montrer que la racine crée de a+b est compris entre 0 et bracine de a sur 2a" ? ? ?

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Je pense que tu doit comparer √a+b -√a le tout au caré et b√a/2a le tout au carré

Qui est d'accord

@Rim-Touali Bonsoir,

Si la question est : Sachant que $a$ et $b$ sont des entiers strictement positifs
Montrer que : $0<a+b−a<ba2a0\lt \sqrt{a+b}-\sqrt{a} \lt \dfrac{b\sqrt{a}}{2a}$

$\lt a+b$ alors $a<a+b\sqrt{a} \lt \sqrt{a+b}$ donc $\lt \sqrt{a+b}-\sqrt{a}$

si $a+b−a<ba2a\sqrt{a+b}-\sqrt{a} \lt \dfrac{b\sqrt{a}}{2a}$
alors $a+b<ba2a+a=b+2a2a\sqrt{a+b} \lt \dfrac{b\sqrt{a}}{2a}+ \sqrt{a} = \dfrac {b+2a}{2\sqrt{a}}$
Di on élève au carré :
$\lt \dfrac{(b+2a)^2}{4a}$
soit $\lt b^2+4a^2+4ab$
$4a2+4ab<b2+4a2+4ab4a^2+4ab \lt b^2+4a^2+4ab$
$\lt b^2$

D'ou la conclusion.

Bonjour,

@Ordi-Touali, peut-être que la modération fera un peu de ménage dans ton topic et le changera de rubrique car il ne correspond pas au programme de cinquième français...

Je te mets une autre piste possible pour prouver que , pour $a$ et $b$ entiers strictement positifs,
$a+b−a<ba2a\sqrt{a+b}-\sqrt a\lt\dfrac{b\sqrt a}{2a}$

Tu peux simplifier chaque membre séparément .
En utilisant le conjuqué :
$a+b−a=(a+b−a)(a+b+a)(a+b+a)\sqrt{a+b}-\sqrt a=\dfrac{(\sqrt{a+b}-\sqrt a)(\sqrt{a+b}+\sqrt a)}{(\sqrt{a+b}+\sqrt a)}$
$a+b−a=(a+b)2−(a)2(a+b+a)=a+b−a(a+b+a)\sqrt{a+b}-\sqrt a=\dfrac{(\sqrt{a+b})^2-(\sqrt a)^2}{(\sqrt{a+b}+\sqrt a)}=\dfrac{a+b-a}{(\sqrt{a+b}+\sqrt a)}$
$a+b−a=ba+b+a\sqrt{a+b}-\sqrt a=\boxed{\dfrac{b}{\sqrt{a+b}+\sqrt a}}$

$ba2a=b2a\dfrac{b\sqrt a}{2a}=\boxed{\dfrac{b}{2\sqrt a}}$

Conséquence :
$a+b+a>a+a\sqrt{a+b}+\sqrt a\gt \sqrt a+\sqrt a$ donc $a+b+a>2a\sqrt{a+b}+\sqrt a\gt 2\sqrt a$
donc
$ba+b+a<b2a\dfrac{b}{\sqrt{a+b}+\sqrt a}\lt \dfrac{b}{2\sqrt a }$
d'où la réponse souhaitée.

Tu as le choix !

Merci Noemi d'avoir re-écrit l'énoncé correctement et d'avoir déplacé ce topic.

@mtschoon merci pour votre aide

De rien @Ordi-Touali .
C'est très bien si tu as compris.

@Rim-Touali. Y a t_il Une solution plus simple?

@Rim-Touali Bonjour,

En quelle classe es-tu ?

Pour démontrer que $a+b−a<ba2a\sqrt{a+b}-\sqrt{a} \lt\dfrac{b\sqrt{a}}{2a}$
Tu peux aussi chercher le signe de $a+b−a−ba2a\sqrt{a+b}-\sqrt{a} - \dfrac{b\sqrt{a}}{2a}$
soit de : $a+b−a(1+b2a)\sqrt{a+b}-\sqrt{a} (1+ \dfrac{b}{2a})$
En multipliant cette expression par son conjugué : $a+b+a(1+b2a)\sqrt{a+b}+\sqrt{a} (1+ \dfrac{b}{2a})$ qui est strictement positif, on obtient :
$\dfrac{b}{2a})^2 = a+b-a-b-\dfrac{b^2}{4a} = -\dfrac{b^2}{4a}$ donc strictement négatif.

Bonjour,

@Rim-Touali , je ne vois que deux techniques pour faire la démonstration .
Plus précisément, je n'en vois pas d'autres...

X et Y étant strictement positifs,

Ou bien, tu fais une élévation au carré
Rappel :
$X<YX\lt Y$ <=> $X2<Y2X^2\lt Y^2$

Ou bien tu transformes avec la quantité conjuguée.
Rappel :
$X−Y=(X−Y)(X+Y)X+Y\sqrt X-\sqrt Y=\dfrac{(\sqrt X-\sqrt Y)(\sqrt X+\sqrt Y)}{\sqrt X+\sqrt Y}$
Donc :
$X−Y=X−YX+Y\sqrt X-\sqrt Y=\dfrac{X-Y}{\sqrt X+\sqrt Y}$

J'imagine que ces méthodes ont été vues en cours, vu la question posée.

Bon courage !