3. Series numérique - Fourier - entières (Math)

Series numérique - Fourier - entières (Math)

  • Hichem Mahammedi

    Bonjour !
    Je n'arrive pas à répondre à mon problème de maths pourriez vous m'aider ?

    L'intensite H du champs d'un aimant au point situe sur son axe a une distance x de son centre est donnee par l'expression suivante ou 2L est la longueur de l'aimant et M son moment.
    H=M2L(1(x−L)2−1(x+L)2)\displaystyle{ H = \frac{M}{2L} \left( \frac{1}{(x-L)^2} - \frac{1}{(x+L)^2} \right) }H=2LM​((x−L)21​−(x+L)21​)
    Montrez que si L est tres petit devant x, on peut alors utiliser l'approximation suivante :
    H=2Mx3\displaystyle{ H = \frac{2M}{x^3} }H=x32M​
    Merci d'avance ❤

    N 1 réponse
  • N
    Modérateurs

    @Hichem-Mahammedi

    Attention, le multiposts n'est pas autorisé sur ce forum.
    J'ai rectifié les relations Latex.

    Fais une approximation des termes au carré :
    (x−L)2=x2−2xL+L2(x-L)^2= x^2-2xL + L^2(x−L)2=x2−2xL+L2 est voisin de x2−2xLx^2-2xLx2−2xL
    Même démarche pour
    (x+L)2=....(x+L)^2= ....(x+L)2=....

    Puis tu réduis au même dénominateur.

    Autre solution : Réduis directement le terme entre parenthèse au même dénominateur, puis tu réduis x−Lx-Lx−L et x+Lx+Lx+L à xxx.

  • Hichem Mahammedi

    je suis vraiment désolé pour les multi-postes
    merci pour cette solution mais pouvez-vous la résoudre avec DL(développement limite) , et désolé pour la deuxième fois pour les multipostes

    N 1 réponse
  • N
    Modérateurs

    @Hichem-Mahammedi

    Avec un développement limité,
    Utilise : pour xxx qui tend vers 0 : (1+x)α=1+αx+ϵ(x2)(1+x)^{\alpha}=1+\alpha x + \epsilon(x^2)(1+x)α=1+αx+ϵ(x2)
    en écrivant 1(x−L)2=1x2(1−Lx)2\dfrac{1}{(x-L)^2}=\dfrac {1}{x^2(1-\dfrac{L}{x})^2}(x−L)21​=x2(1−xL​)21​

    soit (1−Lx)α=1+2αLx+ϵ((Lx)2)(1-\dfrac{L}{x})^{\alpha}=1+2\alpha \dfrac{L}{x} + \epsilon((\dfrac{L}{x})^2)(1−xL​)α=1+2αxL​+ϵ((xL​)2)
    et (1+Lx)α=....(1+\dfrac{L}{x})^{\alpha}=....(1+xL​)α=....

  • mtschoon

    Bonsoir,

    @Hichem-Mahammedi , une piste si tu souhaites les DL

    H=M2Lx2×[(1−Lx)−2−(1+Lx)−2]H=\dfrac{M}{2Lx^2}\times\biggl[ (1-\dfrac{L}{x})^{-2} -(1+\dfrac{L}{x})^{-2} \biggl]H=2Lx2M​×[(1−xL​)−2−(1+xL​)−2]

    En posant X=LxX=\dfrac{L}{x}X=xL​

    (1−X)−2=1+2X+3X2+o(X2)(1-X)^{-2}=1+2X+3X^2+o(X^2)(1−X)−2=1+2X+3X2+o(X2)
    (1+X)−2=1−2X+3X2+o(X2)(1+X)^{-2}=1-2X+3X^2+o(X^2)(1+X)−2=1−2X+3X2+o(X2)
    (Les DL d'ordre 1 suffisent)

    (1−X)2−(1+X)−2=4X+o(X)(1-X)^2-(1+X)^{-2}=4X+o(X)(1−X)2−(1+X)−2=4X+o(X)
    L'approximation cherchée est :
    H=M2Lx2×4(Lx)=2Mx3H=\dfrac{M}{2Lx^2}\times 4(\dfrac{L}{x})=\dfrac{2M}{x^3}H=2Lx2M​×4(xL​)=x32M​

    Bons calculs.

  • mtschoon

    Bonsoir,
    Noemi, je n'avais pas vu ta réponse car elle n'y était pas quand j'ai commencé les calculs...

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