Ecrire une équation en fonction de paramètre


  • ?

    Bonjour,

    J'ai besoin d'aide pour déterminer une équation.
    Voilà le sujet:

    Le diagramme ci-dessous montre le circuit d’un transducteur de température convertissant une température T(in) en une tension v(out). Le transducteur est constitué d’une thermistance (résistance variable R(t) dans le diagramme) montée dans un pont de Wheatstone avec 3 résistances qui sont fixes R1 = R2= R3= 1 k Ohm et une alimentation E = 5 V. La thermistance a une résistance nominale R0= 1 kW à la température T0= 20°C et une constante matérielle b= 2500K.

    Capture.PNG

    Écrivez l’équation reliant la tension de sortie v(out)à la température T(in)

    Merci par avance


  • N
    Modérateurs

    @anesthesiste Bonjour,

    La tension de sortie V=E(R2R1+R2−RTR3+RT)V = E(\dfrac{R_2}{R_1+R_2} - \dfrac{R_T}{R_3+R_T})V=E(R1+R2R2R3+RTRT)

    Relation rectifiée.


  • B

    @Noemi a dit dans Ecrire une équation en fonction de paramètre :

    @anesthesiste Bonjour,

    La tension de sortie V=E(R1R1+R2−R3R3+RT)V = E(\dfrac{R_1}{R_1+R_2} - \dfrac{R_3}{R_3+R_T})V=E(R1+R2R1R3+RTR3)

    Bonjour,

    Attention, il y a un soucis.

    Le sens de la tension de sortie est imposé (par les signes + et - indiqués sur le schéma)

    Supposons (même si cela ne peut pas arriver) que RT = 0, on aurait sur le dessin :

    Vout- relié au - de E
    Vout+ = E/2
    ---> Vout+ est positif par rapport à Vout-

    Donc un volmètre placé sur Vout (en respectant le sens imposé par le + et le - indiqués sur Vout) indiquerait une tension positive.

    Or, avec ta formule on aurait (avec RT=0) : Vout = E*(1/2 - 1) = -E/2 ... donc une tension négative.


    Je pense que $ V_{out} = E(\frac{R_2}{R_1+R_2} - \frac{R_T}{R_3+R_T}) $

    Il reste bien en entendu à tenir compte à remplacer les résistance par leur valeur ... en tenant compte de la température pour [tex]R_T[/tex]

    Latex n'ayant pas l'air d'être pris en compte sur le site, lire ceci :

    Vout = E * (R2/(R1+R2) - RT/(R3 + RT))


  • ?

    Bonjour,
    Merci pour votre aide.
    Si je comprends bien RT désigne la température?

    Est-ce que pour arriver à Vout, il faut appliquer un théorème ou autre chose? parce que je ne vois pas comment vous savez que Rx/Ry+Rx........

    merci


  • B

    @anesthesiste a dit dans Ecrire une équation en fonction de paramètre :

    Bonjour,
    Merci pour votre aide.
    Si je comprends bien RT désigne la température?

    Est-ce que pour arriver à Vout, il faut appliquer un théorème ou autre chose? parce que je ne vois pas comment vous savez que Rx/Ry+Rx........

    merci

    Pour trouver Vout, il faut Calculer V+ et V- en utiilisant les diviseurs de tensions.
    V+ = E * R2/(R1+R2)
    V- = E * RT/(R3+RT)

    Vout ... (que les conventions habituelles aurait plutôt nommé Uout) = V+ - V-


    Non, RT n'est pas la température, c'est la valeur (en ohms) de la résistance RT, résistance qui varie en fonction de la température.

    Il faut donc encore écrire RT = f(theta)
    en tenant compte que : R0= 1 kohm à la température T0= 20°C et une constante matérielle b= ...

    Il faudrait aussi voir le diagramme dont on parle dans l'énoncé pour savoir si il s'agit d'une résistance à coefficient de température négatif ou bien positif.

    Attention, aux unités ...


  • ?

    @Black-Jack Merci pour ce détail.
    Je suis allé voir sur internet le diviseur de tension je comprends les formules mais ce que je ne comprends pas c'est pourquoi pour v+ on a en numérateur R2 et pour V- on a en numérateur Rt (il ya surement un sens logique que je n'ai pas encore saisi).

    Pour RT je pensais à la loi des températures intermédiaires mais après réflexion cette loi n'a pas sa place ici.
    Je ne vois pas comment déterminer ce Rt


  • ?

    Après recherche j'ai trouvé ça pour Rt

    Capture.JPG

    Le problème c'est que je n'ai pas la valeur de T


  • N
    Modérateurs

    @anesthesiste

    C'est la formule à utiliser.
    Utilise les données de l'énoncé et écrit la relation demandée en fonction de T.


  • ?

    Rt= 1*10^3 exp( 2500 (1/T - 1/20))


  • N
    Modérateurs

    @anesthesiste

    Rectifie l'expression en indiquant la température en Kelvin.


  • ?

    j'obtiens: 1*10^3 exp ((2500-125T)/T)


  • N
    Modérateurs

    @anesthesiste

    Oui,
    Comme T doit être en kelvin :
    Il faut écrire : RT=103e2500(1T−1293)R_T=10^3e^{2500(\frac{1}{T}-\frac{1}{293})}RT=103e2500(T12931)


  • ?

    oui tout à fait.

    J'obtiens comme équation de Vout = 2,5 - 5.103exp2500−125TT2.103exp2500−125TT\dfrac{5.10^3 exp^{\dfrac{2500-125 T}{T}}}{2.10^3 exp^{\dfrac{2500-125T}{T}}}2.103expT2500125T5.103expT2500125T


  • N
    Modérateurs

    @anesthesiste

    Après rectification pour T0T_0T0 :

    Vout=2,5−5(e2500(1T−1293)1+e2500(1T−1293))V_{out}=2,5-5(\dfrac{e^{2500(\frac{1}{T}-\frac{1}{293})}}{1+e^{2500(\frac{1}{T}-\frac{1}{293})}})Vout=2,55(1+e2500(T12931)e2500(T12931))

    A réduire au même dénominateur et à simplifier.


  • B

    Bonjour,

    Quelque chose me fait grandement tiquer.

    Dans le message donnant l'expression de RT, il est clairement indiqué que To est la température de référence en K (Kelvin)
    ... De là, même si ce n'est pas clairement indiqué, on devine que T doit aussi être en K (et pas en °C)

    Cela est d'ailleurs évident, car si on calcule la valeur de RT par exemple à 0°C, si on remplace T par 0 dans l'expression de RT cela donne une valeur infinie (ce qui est évidemment faux)

    Par contre, cela devient "normal" avec T et To en K, la division par 0 est alors formellement impossible sauf au zéro absolu ... mais cela est normal puisque au zéro absolu (non atteignable), tout est "immobile, même les électrons. 🙂

    Donc pour moi, à 20°C, on n'a pas (comme cela a été ecrit) dans différents messages : Rt= 1*10^3 exp( 2500 (1/T - 1/20))

    mais bien Rt= 1*10^3 exp( 2500 (1/T - 1/293)) ... avec RT en kohms et T en K

    Bref, la plupart des messages de ce sujet contiennent cette erreur ... qu'il faut corriger.


  • ?

    @Black-Jack
    Bonjour,

    Effectivement ça parait logique d'utiliser la même unité de référence mais ce qui me pose problème c'est que plus loin dans mon exercice il m'est demandé de faire un graphique de la tension de sortie en fonction de Tin dans une plage en degré (0 à 50 °).

    Ce n'est peut être pas incompatible mais cette question m'interpelle.

    Qu'en pensez-vous?


  • B

    @anesthesiste

    Bonjour,

    Cela ne me choque pas.
    C'est assez normal qu'on demande de tracer la graphique pour une gamme de température exprimée en degrés centigrades ... puisque c'est l'unité de température habituelle pour "Monsieur tout le monde".

    Mais il faut quand même faire les calculs de RT comme je l'ai mentionné (soit avec des températures en K).
    ... et il faut faire la conversion en °C pour réaliser le graphique.

    Le hic ici est que l'énoncé semble utiliser la lettre T aussi bien pour les températures en °C et en Kelvin, c'est la meilleure façon qui soit pour faire tromper les gens.
    Il est plus habituel de réserver "T" pour les températures en K et "theta" pour les températures °C, et cela n'a pas été fait ici.

    Peut-être est-ce volontaire de la part du prof pour obliger les élèves à faire attention ?
    Ou bien ce n'est pas volontaire ... et j'ose espérer que le prof n'a pas fait les erreurs que j'ai mentionnées dans mes messages précédents.


  • ?

    Merci énormément @Black-Jack j'ai compris la démarche et merci d'avoir attiré mon attention sur la conversion °c --> Kelvin je me suis vraiment fait avoir .

    @Noemi Merci également pour tout.
    J'ai juste un problème avec votre simplification et plus exactement je ne comprends pas le 1 + exp(2500.......


  • N
    Modérateurs

    @anesthesiste

    A partir de la relation :
    Vout=E(R2R1+R2−RTR3+RT)V_{out} = E(\dfrac{R_2}{R_1+R_2} - \dfrac{R_T}{R_3+R_T})Vout=E(R1+R2R2R3+RTRT),

    Tu remplaces chaque termes par sa valeur ou son expression. Puisque les fractions sont le rapport de résistances , tu peux laisser la valeur en k ohm ( cela revient à simplifier par 1000).
    D'où pour le dénominateur : 1+RT1 + R_T1+RT.

    Effectue les calculs et propose tes résultats si tu souhaites une vérification.


  • ?

    @Noemi après simplification j'obtiens:

    −2,5exp2500(1T−1293)1+exp2500(1T−1293)\dfrac{-2,5exp^{2500(\dfrac{1}{T}-\dfrac{1}{293})}}{1+exp^{2500(\dfrac{1}{T}-\dfrac{1}{293})}}1+exp2500(T12931)2,5exp2500(T12931)

    Je ne suis pas sûr de la véracité de ma simplification


  • N
    Modérateurs

    @anesthesiste

    Vérifie tes calculs, je trouve :

    −2,5(exp2500(1T−1293)−1)1+exp2500(1T−1293)\dfrac{-2,5(exp^{2500(\dfrac{1}{T}-\dfrac{1}{293})}-1)}{1+exp^{2500(\dfrac{1}{T}-\dfrac{1}{293})}}1+exp2500(T12931)2,5(exp2500(T12931)1)


  • ?

    Je suis embêté car après vérification du calcul je n'obtiens jamais le -1 du numérateur


  • N
    Modérateurs

    @anesthesiste

    Je détaille :
    Vout=E(R2R1+R2−RTR3+RT)V_{out} = E(\dfrac{R_2}{R_1+R_2} - \dfrac{R_T}{R_3+R_T})Vout=E(R1+R2R2R3+RTRT),

    Pour RTR_TRT, je remplace pour simplifier l'écriture : e2500(1T−1293)e^{2500(\frac{1}{T}-\frac{1}{293})}e2500(T12931) par eα(t)e^{\alpha(t)}eα(t)

    Vout=5(12−eα(t)1+eα(t))V_{out} = 5(\dfrac{1}{2} - \dfrac{e^{\alpha(t)}}{1+e^{\alpha(t)}})Vout=5(211+eα(t)eα(t)),

    Vout=5(1+eα(t)−2eα(t)2(1+eα(t)))V_{out} = 5(\dfrac{1+e^{\alpha(t)}-2{e^{\alpha(t)}}}{2(1+e^{\alpha(t)})})Vout=5(2(1+eα(t))1+eα(t)2eα(t))

    Vout=2,5(1−eα(t)1+eα(t))V_{out} = 2,5(\dfrac{1-{e^{\alpha(t)}}}{1+e^{\alpha(t)}})Vout=2,5(1+eα(t)1eα(t))


  • ?

    J'ai refait le calcul mais j'ai l'impression que quelque chose peche.

    Je me permets de vous mettre le détail, pour vois si vous voyez quelque chose:

    2,5* (1+exp2500(1T−1293)−2∗exp2500(1T−1293)1+exp2500(1T−1293))\dfrac{1+exp^{2500(\dfrac{1}{T}-\dfrac{1}{293})}-2*exp^{2500(\dfrac{1}{T}-\dfrac{1}{293})}}{1+exp^{2500(\dfrac{1}{T}-\dfrac{1}{293})}})1+exp2500(T12931)1+exp2500(T12931)2exp2500(T12931))


  • N
    Modérateurs

    @anesthesiste

    C'est correct, il reste à simplifier :
    eα(t)−2eα(t)=−eα(t)e^{\alpha(t)}-2e^{\alpha(t)}=-e^{\alpha(t)}eα(t)2eα(t)=eα(t)


  • ?

    C'est bon pour moi.

    Par contre suite au calcul je trouve en résultat au début 2,5 ..... alors que tout à l'heure on avait comme résultat -2,5.....

    On est d'accord que la valeur Vout correcte est 2,5 .....


  • N
    Modérateurs

    @anesthesiste

    Les deux relations sont égales. Le numérateur de l'une est l'opposé du numérateur de l'autre, d'ou le signe moins.


  • ?

    Merci @Noemi
    Merci @Black-Jack

    Vous m'avez vraiment aiguillé tout au long de l'exercice. Tout est très clair pour moi.


  • ?

    Bonjour,
    Je m'excuse de revenir vers vous mais j'ai une question complémentaire sur cet exercice.
    J'aimerais tracer une courbe de Vout en faisant varier T dans une certaine plage.

    Je sais le faire "en papier" mais j'aimerais le faire de manière informatique pour plus de justesse.

    Comment est-il possible de faire ça?
    Y-a-t-il des logiciels ?

    Merci


  • N
    Modérateurs

    @anesthesiste

    Pour obtenir la représentation graphique, tu peux utiliser ta calculatrice ou un logiciel, par exemple géogebra 5.


  • ?

    Merci je vais regarder geogebra


  • ?

    Ce message a été supprimé !

  • ?

    c'est assez étonnant j'ai comme résultat:
    Capture.JPG
    Est-ce que j'ai mal fait quelque chose?


  • N
    Modérateurs

    @anesthesiste

    L'erreur est sur T, il faut faire varier le curseur de 273 à 323, puisque la température est en Kelvin.


  • ?

    ça ne change pas grand chose 😞
    Capture.JPG

    En fait ce que je dois faire c'est réaliser un graphe de Vout en fonction de Tin dans une plage, donnée en °c (0 à 50)

    Si on considère que la température est en K il faut faire varier T de 0 à 13 650?

    @Black-Jack a dit dans Ecrire une équation en fonction de paramètre :

    @anesthesiste

    Bonjour,

    Cela ne me choque pas.
    C'est assez normal qu'on demande de tracer la graphique pour une gamme de température exprimée en degrés centigrades ... puisque c'est l'unité de température habituelle pour "Monsieur tout le monde".

    Mais il faut quand même faire les calculs de RT comme je l'ai mentionné (soit avec des températures en K).
    ... et il faut faire la conversion en °C pour réaliser le graphique.

    Le hic ici est que l'énoncé semble utiliser la lettre T aussi bien pour les températures en °C et en Kelvin, c'est la meilleure façon qui soit pour faire tromper les gens.
    Il est plus habituel de réserver "T" pour les températures en K et "theta" pour les températures °C, et cela n'a pas été fait ici.

    Peut-être est-ce volontaire de la part du prof pour obliger les élèves à faire attention ?
    Ou bien ce n'est pas volontaire ... et j'ose espérer que le prof n'a pas fait les erreurs que j'ai mentionnées dans mes messages précédents.

    Comme j'en avais parlé ici avec black-jack, il me semblait qu'il fallait tracer le graphe avec des degrés car c'est effectivement une unité de valeur plus courante


  • N
    Modérateurs

    @anesthesiste

    Dans la relation T s'exprime en Kelvin, donc
    Il faut analyser la courbe sur l'intervalle 273, 323.

    Si tu souhaites utiliser la mesure en degré, il faut remplacer TTT par 273+x273 + x273+x et tu fais varier xxx de 0 à 50.


  • B

    Bonjour,

    Sans titre.png

    Tracé à l'aide d'un tableur ...
    Mais on peut le faire évidemment par les autres moyens mentionnés.


  • ?

    @noemi c'est tout bon je pense que c'était un problème d'échelle, j'y suis arrivé sur geogebra.
    J'ai utilisé la relation 273+x pour que T soit en °C. Un grand merci

    @Black-Jack j'obtiens la même courbe (avec une graduation différente mais la même), merci beaucoup


  • N
    Modérateurs

    @anesthesiste

    Parfait si tu as pu terminer l'exercice. Retiens qu'il est important de prendre en compte les unités de chacun des termes d'une formule.


  • ?

    Bonjour,
    Je ne sais pas si c'est possible mais j'aimerais faire vérifier mes réponses.

    • Après étalonnage de l'instrument, le modèle linéaire est Vout = 0.0342 Tin (en kelvin) - 10.05
      commentez la validité du modèle dans la plage de température 0 à 50°C (aidez-vous de graphiques et ou calculs)

      Capture.JPG
      --> j'ai tracé l'équation du début (en bleu) puis en rouge le modèle linéaire.
      Ce modèle est bien valide dans la plage 0 à 50 °C car on voit que les deux groupes se suivent.

    Je trouve que ça n'est pas très fournit comme réponse
    Quels calculs puis-je faire pour valider ça?

    -Ce transducteur n'est pas adapté à de hautes températures (par exemple 150°C), pourquoi?
    --> Comme montré dans le graphe ci-dessus on remarque qu'à partir de certaines températures basses et hausses il y a un écart des courbes qui signifie que les mesures ne seront pas justes.

    -Quel type de transducteur recommanderiez-vous pour réaliser des mesures entre -100°C à 150°C?
    --> Alors je n'ai rien dans mon cours concernant les différents types de transducteurs existants.
    Je me demandais si je ne dois pas changer les valeurs présentes dans l'équation f(T) pour avoir un modèle proche de g(t)?

    Merci pour votre vérification et avis.

    Bon week-end


  • N
    Modérateurs

    @anesthesiste

    Ce transducteur n'est pas adapté pour les hautes températures car la courbe s'éloigne de la droite.

    Il faut un transducteur avec une réponse linéaire.


  • ?

    Merci @Noemi

    Effectivement la courbe s'éloigne mais est-ce que ca signifie que en cas de mesure les résultats seront faussés?
    Ou ce n'est pas juste de mettre ça comme réponse?


  • N
    Modérateurs

    @anesthesiste

    Il faut indiquer que le modèle linéaire est valide que dans la zone -40° C et 50 °C. Il faut un autre modèle si l'on souhaite qu'il soit valide dans de plus larges zones ou d'autres zones..


  • ?

    D'accord je vois merci beaucoup @Noemi


  • ?

    Ce message a été supprimé !

  • mtschoon

    Bonjour,

    Il me semble que cet exercice relatif au "circuit d’un transducteur de température convertissant une température T(in) en une tension v(out)" serait mieux dans la rubrique "Mathématiques et Sciences Physiques"

    Peut-être que la modération le déplacera.


  • mtschoon

    Merci Noemi d'avoir déplacé ce topic.


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