problème de suite

Bonjour,
Voila mon problème :
On considère la suite (Un) définie par U0=-1 et pour tout napp/ N
Un+1= (3+2Un)/ (2+Un)

calculer les 4 premiers termes de la suite

Je trouve U1=1 ; U2=5/3 ; U3=19/11 ; U4=71/41

Démontrer que Un est positif pour tout entier n non nul ; en déduire que un est défini quel que soit l’entier n.

Je n’arrive pas a faire la question 2 pourriez vous m’aider?
Merci d’avance

Salut!! je viens de finir les suites avec mon prof donc c'est encore tout frais dans ma tête
il faut faire une récurrence je ne te la rédige pas en entier mais juste la partie la plus importante
tu es d'accord que U1>0
ton hypothèse de récurrence c'est donc Un>0
alors 2Un>0
equiv/ 2Un+3>0
equiv/ (3+2Un)/ (2+Un)>0 car on a supposé que Un>0
equiv/ Un+1>0
la propriété est vraie pour n=n+1 elle est vraie pour tout n>0
une suite est définie pour n appartenant à N (tous les entiers positifs)
voilà j'espère que cela répond à tes questions

Merci pour ta réponse miumiu

Dans la suite de l’exercice il faut démontrer que la suite est majorée par $s q r t$ 3
Je procède par récurrence
U1=1 U1 inférieur à $s q r t$ 3

Hypothèse de récurrence pour n fixé Un inférieur à $s q r t$ 3

Un inférieur à $s q r t$ 3
equiv/ (3+2Un)/ (2+Un) inférieur à (3+2 $s q r t$ 3)/ (2+ $s q r t$ 3)
equiv/ Un+1 inférieur à $s q r t$ 3
conclusion pour tout n, Un inférieur à $s q r t$ 3
u es majoré pas $s q r t$ 3

Pourriez vous me dire si le raisonnement est bon
Merci

salut!!
moi je dirais que c'est bon
juste n'oublie pas de dire que Un >0 lorsque tu fais ta récurrence

Merci miumiu
Autre question, je sais que la suite est positive et définit quel que soit n, je sais aussi qu’elle est majorée par $s q r t$ 3. Est-ce que je peu en conclure qu’elle est croissante ?
Merci

Salut!!!!
Mmmm je ne crois pas non pour prouver qu'une suite est croissante tu dois prouver que Un+1 >= Un
le fait qu'elle soit positive et majorée par $s q r t$ 3) ne t'avance à rien à mon humble avis
bonne chance

Merci
J'ai fait la démonstration suivante, pourriez vous me dire si c'est correct.
$U_0$ =-1 $U_1$ =1 $U_0$ inférieur à $U_1$
Hypo de récurrence pour n fixé $U_{n+1}$ supérieur à Un démontons que $U_{n+2}$ supérieur à $U_{n+1}$
$U_{n+1}$ supérieur à Un equiv/ $3+2U_{n+1}$ supérieur $3+2U_n$ equiv/ $3+2U_{n+1}$ $2+U_{n+1}$ ) supérieur à $3+2U_{n)}$ $2+U_n$ ) impl/ $U_{n+2}$ supérieur à $U_{n+1}$ . $U_n$ est donc croissante

Modifié par Zorro ; motif : J'ai mis une balise fin d'indice qui manquait et qui rendait la lecture impossible car en caractères trop petits

Salut!!
je dirais que c'est bon aussi
la propriété est vérifiée au rang d'après elle est donc vraie pour tout n