3. CALCUL MATRICIELLE EXO

CALCUL MATRICIELLE EXO

  • C

    Bonsoir 🙂

    On pose M ( 4 3 -3 )
    3 4 -3
    3 3 -2

    1. Calculer M²
      2)Démontrer que M² -5M +4I3 = 0
    2. En déduire que M est irréversible et que M^-1 = 1/4 (5I3 - M)
      J'étais absent durant ce cours
      La 2 et la 3 je comprends pas du tout ..pour la 1 je sais pas s'il faut calculer le déterminant ..si quelqu'un voulait bien m'expliquer stp
    N 1 réponse
  • N
    Modérateurs

    @Courtois Bonjour,

    Un cours sur la multiplication de matrices : http://villemin.gerard.free.fr/aMaths/Outils/Matrice/Multipli.htm

    Indique tes calculs ou résultats si tu souhaites une vérification.

  • mtschoon

    Bonjour,

    @Courtois , le calcul matricielle en classe de troisième ? je reste perplexe.
    ou bien tu n'appliques pas les programmes français
    ou bien tu t'es trompé de rubrique.
    La modération déplacera peut-être ton topic.

  • mtschoon

    @Courtois j je t'indique quelques pistes,

    1. M2=M×MM^2=M\times MM2=M×M
      Tu fais le calcul (regarde le lien indiqué par Noemi)

    Sauf erreur, tu dois trouver :
    M2=(16 15 −1515 16 −1515 15 −14)M^2=\begin{pmatrix}16\ 15\ -15\cr 15\ 16\ -15\cr 15\ 15\ -14\end{pmatrix}M2=⎝⎜⎛​16 15 −1515 16 −1515 15 −14​⎠⎟⎞​

    1. I3=(1 0 00 1 00 0 1)I_3=\begin{pmatrix}1\ 0\ 0\cr 0\ 1\ 0\cr 0\ 0\ 1\end{pmatrix}I3​=⎝⎜⎛​1 0 00 1 00 0 1​⎠⎟⎞​
      Le calcul de M2−5M+4I3M^2 -5M +4I_3M2−5M+4I3​ doit te donner la matrice nulle (0 0 00 0 00 0 0)\begin{pmatrix}0\ 0\ 0\cr 0\ 0\ 0\cr 0\ 0\ 0\end{pmatrix}⎝⎜⎛​0 0 00 0 00 0 0​⎠⎟⎞​, d'où la réponse.

    2. le déterminant de MMM vaut , après calcul, 444
      Il est donc non nul, donc MMM est inversible.
      Soit M−1M^{-1}M−1 son inverse.

    Bien sûr , pour déterminer M−1M^{-1}M−1, tu peux te contenter d'utiliser l'expression donnée dans l'énoncé et faire la vérification
    M×M−1=M−1×M=I3M\times M^{-1}=M^{-1}\times M=I_3M×M−1=M−1×M=I3​

    Mieux, mais plus long : tu calcules directement M−1M^{-1}M−1 et tu t'assures que c'est bien le résultat donné dans l'énoncé.

    je t'indique une méthode possible avec résolution de système (il y en a d'autres)
    M×(xyz)=(abc)M\times \begin{pmatrix}x\cr y\cr z\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}a\cr b\cr c\end{pmatrix}M×⎝⎜⎛​xyz​⎠⎟⎞​=⎝⎜⎛​abc​⎠⎟⎞​
    Cela donne le système (***) :
    {4x+3y−3z=a3x+4y−3z=b3x+3y−2z=c\begin{cases}4x+3y-3z=a\cr3x+4y-3z=b\cr 3x+3y-2z=c\end{cases}⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧​4x+3y−3z=a3x+4y−3z=b3x+3y−2z=c​

    Il faut chercher x,y,zx,y,zx,y,z en fonction de a,b,ca,b,ca,b,c pour obtenir :
    (xyz)=M−1×(abc)\begin{pmatrix}x\cr y\cr z\end{pmatrix}= M^{-1}\times \begin{pmatrix}a\cr b\cr c\end{pmatrix}⎝⎜⎛​xyz​⎠⎟⎞​=M−1×⎝⎜⎛​abc​⎠⎟⎞​
    Après calculs, le système (***), donne :
    {x=(1/4)a−(3/4)b+(3/4)cy=−(3/4)a+(1/4)b+(3/4)cz=−(3/4)a−(3/4)b+(7/4)c\begin{cases}x=(1/4)a-(3/4)b+(3/4)c \cr y=-(3/4)a +(1/4)b+(3/4)c\cr z=-(3/4)a-(3/4)b+(7/4)c\end{cases}⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧​x=(1/4)a−(3/4)b+(3/4)cy=−(3/4)a+(1/4)b+(3/4)cz=−(3/4)a−(3/4)b+(7/4)c​
    D'où
    M−1=( 1/4  −3/4   3/4−3/4     1/4     3/4  −3/4 −3/4 7/4)M^{-1}=\begin{pmatrix} \ 1/4\ \ -3/4\ \ \ 3/4 \cr -3/4\ \ \ \ \ 1/4\ \ \ \ \ 3/4\cr \ \ -3/4\ -3/4\ 7/4\end{pmatrix}M−1=⎝⎜⎛​ 1/4  −3/4   3/4−3/4     1/4     3/4  −3/4 −3/4 7/4​⎠⎟⎞​

    Il te reste à vérifier que cette expression est bien la même que celle donnée dans l'énoncé.

    Bons calculs !

  • mtschoon

    Merci @Noemi d'avoir déplacer ce topic.

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