Fonction à plusieurs variables : Extremum


  • dounia032

    Bonjour,

    Je débute dans les fonction à plusieurs variables et j'ai un devoir à rendre, je ne suis pas du tout sûr de mes réponses et je bloque à certain endroit:
    L'énoncé :

    "La fonction est-elle majorée ? minorée ? a-t-elle un maximum ? un minimum ? locale ? globale ? Tout doit être justifié

    φ(x,y,z)=6x2 +4y2 +2z2 −8xy+2xz−4yz+6x−4y+2z "

    J'ai seulement calculé le point critique et je trouve : (-1;-1;-1) qui l'extremum de la fonction (je crois)

    mais je n'arrive pas à déterminer si elle à un maximum ou un minimum

    Si quelqu'un aurait la gentillesse de m'aider, je lui en remercie d'avance!


  • N
    Modérateurs

    @dounia032 Bonsoir,

    Le point (-1;-1;-1) est bien le point critique.
    démontre que
    Φ(x,y,z)=(2x−2y+z+1)2+(x−z)2+(x+1)2−2\Phi(x,y,z)= (2x-2y+z+1)^2+(x-z)^2+(x+1)^2-2Φ(x,y,z)=(2x2y+z+1)2+(xz)2+(x+1)22
    donc
    Φ(x,y,z)=(2x−2y+z+1)2+(x−z)2+(x+1)2−2≥Φ(−1;−1;−1)=−2\Phi(x,y,z)= (2x-2y+z+1)^2+(x-z)^2+(x+1)^2-2 \geq \Phi(-1;-1;-1)=-2Φ(x,y,z)=(2x2y+z+1)2+(xz)2+(x+1)22Φ(1;1;1)=2
    tu conclus que (-1;-1;-1) est un minimum local et même global de fff.


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