système linéaire de matrice

bonjour, je voudrais une correction pour l'exercice que j'ai fait :

On étudie l’évolution dans le temps d’une population animale. À la date n (en années),
cette population se divise en xn jeunes et yn adultes. L’année comporte une saison hivernale et une saison de reproduction.
Lors de la saison hivernale, 40% des jeunes survivent et deviennent des adultes et 80% des adultes survivent.
Lors de la saison de reproduction, chaque adulte donne naissance à 2 jeunes (en fait 4 par femelle). Tous les adultes survivent.
a) Exprimez xn+1 et yn+1 en fonction de xn et yn. Ecrivez le système obtenu sous forme matricielle.
b) Calculez xn et yn en fonction de x0 et y0 du début de l’observation.

voilà ce que j'ai fait :

@mimims , re-bonjour,

OK pour le a)

Je ne comprends pas bien ce que tu as écrit au b)
Soit
$0.8)A=\begin{pmatrix} 0.8\ \ 1.6 \cr 0.4\ \ 0.8 \end{pmatrix}$

$(xn+1yn+1)=A(xnyn)\begin{pmatrix} x_{n+1} \cr y_{n+1} \end{pmatrix}=A\begin{pmatrix} x_{n} \cr y_{n} \end{pmatrix}$

Tu as une suite géométrique de matrices, de raison A et de premier terme $(x0y0)\begin{pmatrix} x_{0} \cr y_{0} \end{pmatrix}$

Donc,

$(xnyn)=An(x0y0)\begin{pmatrix} x_{n} \cr y_{n} \end{pmatrix}=A^n\begin{pmatrix} x_{0} \cr y_{0} \end{pmatrix}$

Bonjour,

Un complément,

Vu que Connaissance a re-ouvert ce topic, je regarde la fin.

Pour donner $x_n$ et $y_n$ , séparément, en fonction de $x_0$ et $y_0$ , il faut expliciter $A^n$ .

Après transformation, on peut trouver, par exemple, :
$2)A^n=\dfrac{(1.6)^n}{4}\begin{pmatrix}2\ 4\cr1\ 2\end{pmatrix}$

d'où, après calcul matriciel :
$xn=(1.6)n4(2x0+4y0)x_n=\dfrac{(1.6)^n}{4}(2x_0+4y_0)$

$yn=(1.6)n4(x0+2y0)y_n=\dfrac{(1.6)^n}{4}(x_0+2y_0)$

@mtschoon
Bonsoir Monsieur
N'existe t'il pas autre méthode ?

@leohnye , bonsoir,

La réponse proposée correspond aux questions demandées.