Equation de la trajectoire, vitesse, accélération
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CCourtois dernière édition par Noemi
Bonsoir à tous
Le plan est muni d'un repère orthonormé xOy d'origine O et de base (vecteur i, vecteur j) . Les coordonnées x et y d'un point M mobile dans le plan (O, vecteur i, vecteur j) varient avec le temps suivant :
x = 2cos 5t et y = 2 sin 5t- Déterminer l'équation de la trajectoire
- Déterminer le module du vecteur vitesse
- Déterminer les composantes tangentielles et normales de l'accélération dans le repère de Freinet
- En déduire le rayon de courbure de la trajectoire
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@Courtois Bonjour,
Indique tes calculs et la question qui te pose problème.
Question 1 : calcule x2+y2x^2+y^2x2+y2
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CCourtois dernière édition par
@Noemi
Puisqu'on a deux équations paramétriques ; pour trouver la trajectoire il faut éliminer le temps
X² + y² = 4 cos² (5t) + 4 sin² (5t)
Je bloque là ... comment éliminer t? Puis démontrer que x² + y² = 4
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Tu utilises la relation : sin2a+cos2a=1sin^2a + cos^2a=1sin2a+cos2a=1
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CCourtois dernière édition par
@Noemi
On a donc :
4(Cos²(5t) + sin² (5t) ) = 4(1) = 4
Et pour dire que le rayon est = 2 cm
Est -ce que ça veut dire ce que je viens de trouver est le diamètre de l'équation paramétrique ?
Quelle est la forme d'une équation paramétrique et comment trouver le rayon d'une t-elle équation grâce à ses composantes ?
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Tu as trouver :
x^2+y^2= 4 = 2^2.
C'est l'équation d'un cercle de centre O(0;0) et de rayon 2.
Pour l'unité du rayon ce n'est pas précisée dans l'énoncé.
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CCourtois dernière édition par
@Noemi
En fait J'avais pas mentionné
À côté de l'équation paramétrique il.y'avait (en cm et t en secondes )
Par contre je ne comprends pas d'où sort les coordonnées du cercle (0;0)?
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C'est du cours;
L'équation cartésienne d'un cercle de centre C(a;b)C(a;b)C(a;b) et de rayon RRR a pour équation :
(x−a)2+(y−b)2=R2(x-a)^2+(y-b)^2=R^2(x−a)2+(y−b)2=R2
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CCourtois dernière édition par
@Noemi
Ah Parfait Merci
Pour la 2 )
Le module du vecteur vitesse s'obstient en faisant la racine carrée de Vx² et de Vy²
Comment trouver les dérivées de x et y par rapport au temps ?
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Calcule x′(t)x'(t)x′(t) et y′(t)y'(t)y′(t). Tu dérives par rapport à la variable ttt.
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CCourtois dernière édition par
@Noemi
x'(t) = -2 sin (5t)
y'(t) = -2 cos (5t)
Non ?
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Non tu as oublié le coefficient de ttt
x′(t)=−10 sin(5t)x'(t)=-10 \ sin(5t)x′(t)=−10 sin(5t) et
y′(t)=10 cos(5t)y'(t)= 10\ cos(5t)y′(t)=10 cos(5t)
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CCourtois dernière édition par
@Noemi
Ah D'accord
Et pour trouver Vx et Vy?
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CCourtois dernière édition par
@Courtois
Ah je crois que Vx et Vy représente les dérivées
Par conséquent V = √ -10 sin (5t) ² + 10 cos (5t)²
V = √ 100 (sin²(5t) + cos²(5t) )
V = 10 m/s
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Le calcul est juste. L'unité est à vérifier.
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CCourtois dernière édition par Courtois
@Noemi
3) Pour trouver at et an
On a at = dv/dt
Comment trouver le vecteur vitesse puis sa dérivée
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Calcule la dérivée seconde.
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CCourtois dernière édition par
@Noemi
Si c'est pour 10m/s
X"(t) = 0
Donc an = 0 ?
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L'accélération tangentielle est nulle et l'accélération normale est ....
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CCourtois dernière édition par
@Noemi
X' (t) = -10 sin (5t)
Y' (t) = 10 cos (5t)X" (t) = -10 (5) = -50
Y" (t) = 10 (5) = 50Je ne me souviens pas trop des calculs de dérivée seconde quand on a affaire aux équations trigonométriques ..ai-je raison?
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BBlack-Jack dernière édition par
@Courtois a dit dans Repère orthonormé PLAN :
@Courtois
Ah je crois que Vx et Vy représente les dérivées
Par conséquent V = √ -10 sin (5t) ² + 10 cos (5t)²
V = √ 100 (sin²(5t) + cos²(5t) )
V = 10 m/sBonjour,
ATTENTION, c'est faux
Tu as écrit dans un message précédent que les distances étaient en cm et les durées en s ...Donc V = 10 cm/s et pas 10 m/s
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x′′(t)=−50cos(5t)x''(t)= -50 cos(5t)x′′(t)=−50cos(5t) et y′′(t)=−50sin(5t)y''(t)=-50 sin(5t)y′′(t)=−50sin(5t)
Tu avais raison, tu peux calculer l'accélération tangentielle par la relation :
at=dvdta_t=\dfrac{dv}{dt}at=dtdv, donc at=0a_t= 0at=0
Calcule l'accélération normale an=v2Ra_n= \dfrac{v^2}{R}an=Rv2
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CCourtois dernière édition par Courtois
@Noemi Merci @Black-Jack c vrai
Oui je comprends l'accélération normale
an = 10²/2
an = 50 cm/s²Cependant je ne comprends pourquoi l'accélération tangentielle est nulle ...quelle est la valeur de dt ?
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A partir des dérivée secondes, tu peux calculer la norme de l'accélération.
Tu trouves 50 cm/s250 \ cm/s^250 cm/s2 or tu as trouvé aussi 50 pour l'accélération normale
donc l'accélération tangentielle est nulle.
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CCourtois dernière édition par
@Noemi
Ah d'accord
At = ||a|| - an
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Attention ce sont des relations vectorielles
at=a2−an2a_t=\sqrt{a^2-a_n^2}at=a2−an2Retourne voir ton exercice sur les probabilités. Les événements sont bien indépendants mais pas incompatibles.
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CCourtois dernière édition par
@Noemi
Ah d'accord
Pour la 4 )
R =V²/an
R = 100/50
R = 2 cm
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Vu que l'on demande le rayon de courbure en dernier, on ne peut pas utiliser la relation an=v2Ra_n= \dfrac{v^2}{R}an=Rv2
Tu calcules la norme du vecteur accélération à partir des dérivées secondes.
Ce qui donne a=50 cm/s2a = 50\ cm/s^2a=50 cm/s2.ensuite tu calcules ata_tat en calculant la dérivée de la norme du vecteur vitesse.
Ce qui donne at=0a_t= 0at=0
tu déduis que an=50 cm/s2a_n=50 \ cm/s^2an=50 cm/s2Puis tu calcules le rayon de courbure par la relation : Rc=v2anR_c=\dfrac{v^2}{a_n}Rc=anv2.
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CCourtois dernière édition par Courtois
@Noemi
Parfait ; j'ai compris
Cependant la partie at reste floue.La formule admise généralement est at = dv/dt où v désigne la norme de la valeur du vecteur vitesse
Certes dv = 0
Mais qu'a on fait de dt ?
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dvdt\dfrac{dv}{dt}dtdv correspond à la dérivée de la vitesse par rapport à la variable temps.
Or v=10v = 10v=10 qui ne dépend pas de ttt donc dvdt=0\dfrac{dv}{dt}= 0dtdv=0.
Si on avait par exemple v=8tv = 8tv=8t alors dvdt=8\dfrac{dv}{dt}= 8dtdv=8
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CCourtois dernière édition par
@Noemi
Tout es clair maintenant , Merci
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C'est parfait si tu as tout compris.