Equation de la trajectoire, vitesse, accélération

Bonsoir à tous
Le plan est muni d'un repère orthonormé xOy d'origine O et de base (vecteur i, vecteur j) . Les coordonnées x et y d'un point M mobile dans le plan (O, vecteur i, vecteur j) varient avec le temps suivant :
x = 2cos 5t et y = 2 sin 5t

Déterminer l'équation de la trajectoire
Déterminer le module du vecteur vitesse
Déterminer les composantes tangentielles et normales de l'accélération dans le repère de Freinet
En déduire le rayon de courbure de la trajectoire

@Courtois Bonjour,

Indique tes calculs et la question qui te pose problème.
Question 1 : calcule $x^2+y^2$

@Noemi
Puisqu'on a deux équations paramétriques ; pour trouver la trajectoire il faut éliminer le temps
X² + y² = 4 cos² (5t) + 4 sin² (5t)
Je bloque là ... comment éliminer t? Puis démontrer que x² + y² = 4

@Courtois

Tu utilises la relation : $sin^2a + cos^2a=1$

@Noemi
On a donc :
4(Cos²(5t) + sin² (5t) ) = 4(1) = 4
Et pour dire que le rayon est = 2 cm
Est -ce que ça veut dire ce que je viens de trouver est le diamètre de l'équation paramétrique ?
Quelle est la forme d'une équation paramétrique et comment trouver le rayon d'une t-elle équation grâce à ses composantes ?

@Courtois

Tu as trouver :
x^2+y^2= 4 = 2^2.
C'est l'équation d'un cercle de centre O(0;0) et de rayon 2.
Pour l'unité du rayon ce n'est pas précisée dans l'énoncé.

@Noemi
En fait J'avais pas mentionné
À côté de l'équation paramétrique il.y'avait (en cm et t en secondes )
Par contre je ne comprends pas d'où sort les coordonnées du cercle (0;0)?

@Courtois

C'est du cours;
L'équation cartésienne d'un cercle de centre $C (a; b)$ et de rayon $R$ a pour équation :
$x-a)^2+(y-b)^2=R^2$

@Noemi
Ah Parfait Merci
Pour la 2 )
Le module du vecteur vitesse s'obstient en faisant la racine carrée de Vx² et de Vy²
Comment trouver les dérivées de x et y par rapport au temps ?

@Courtois

Calcule $x^{'} (t)$ et $y^{'} (t)$ . Tu dérives par rapport à la variable $t$ .

@Noemi
x'(t) = -2 sin (5t)
y'(t) = -2 cos (5t)
Non ?

@Courtois

Non tu as oublié le coefficient de $t$
$\ sin(5t)$ et
$10\ cos(5t)$

@Noemi
Ah D'accord
Et pour trouver Vx et Vy?

@Courtois
Ah je crois que Vx et Vy représente les dérivées
Par conséquent V = √ -10 sin (5t) ² + 10 cos (5t)²
V = √ 100 (sin²(5t) + cos²(5t) )
V = 10 m/s

@Courtois

Le calcul est juste. L'unité est à vérifier.

@Noemi
3) Pour trouver at et an
On a at = dv/dt
Comment trouver le vecteur vitesse puis sa dérivée

@Courtois

Calcule la dérivée seconde.

@Noemi
Si c'est pour 10m/s
X"(t) = 0
Donc an = 0 ?

@Courtois

L'accélération tangentielle est nulle et l'accélération normale est ....

@Noemi
X' (t) = -10 sin (5t)
Y' (t) = 10 cos (5t)

X" (t) = -10 (5) = -50
Y" (t) = 10 (5) = 50

Je ne me souviens pas trop des calculs de dérivée seconde quand on a affaire aux équations trigonométriques ..ai-je raison?

@Courtois a dit dans Repère orthonormé PLAN :

@Courtois
Ah je crois que Vx et Vy représente les dérivées
Par conséquent V = √ -10 sin (5t) ² + 10 cos (5t)²
V = √ 100 (sin²(5t) + cos²(5t) )
V = 10 m/s

Bonjour,

ATTENTION, c'est faux
Tu as écrit dans un message précédent que les distances étaient en cm et les durées en s ...

Donc V = 10 cm/s et pas 10 m/s

@Courtois

$x^{''} (t) = - 50 c o s (5 t)$ et $y^{''} (t) = - 50 s i n (5 t)$

Tu avais raison, tu peux calculer l'accélération tangentielle par la relation :
$at=dvdta_t=\dfrac{dv}{dt}$ , donc $a_t= 0$
Calcule l'accélération normale $an=v2Ra_n= \dfrac{v^2}{R}$

@Noemi Merci @Black-Jack c vrai
Oui je comprends l'accélération normale
an = 10²/2
an = 50 cm/s²

Cependant je ne comprends pourquoi l'accélération tangentielle est nulle ...quelle est la valeur de dt ?

@Courtois

A partir des dérivée secondes, tu peux calculer la norme de l'accélération.
Tu trouves $50 \ cm/s^2$ or tu as trouvé aussi 50 pour l'accélération normale
donc l'accélération tangentielle est nulle.

@Noemi
Ah d'accord
At = ||a|| - an

@Courtois

Attention ce sont des relations vectorielles
$at=a2−an2a_t=\sqrt{a^2-a_n^2}$

Retourne voir ton exercice sur les probabilités. Les événements sont bien indépendants mais pas incompatibles.

@Noemi
Ah d'accord
Pour la 4 )
R =V²/an
R = 100/50
R = 2 cm

@Courtois

Vu que l'on demande le rayon de courbure en dernier, on ne peut pas utiliser la relation $an=v2Ra_n= \dfrac{v^2}{R}$

Tu calcules la norme du vecteur accélération à partir des dérivées secondes.
Ce qui donne $a = 50\ cm/s^2$ .

ensuite tu calcules $a_t$ en calculant la dérivée de la norme du vecteur vitesse.
Ce qui donne $a_t= 0$
tu déduis que $a_n=50 \ cm/s^2$

Puis tu calcules le rayon de courbure par la relation : $Rc=v2anR_c=\dfrac{v^2}{a_n}$ .

@Noemi
Parfait ; j'ai compris
Cependant la partie at reste floue.

La formule admise généralement est at = dv/dt où v désigne la norme de la valeur du vecteur vitesse

Certes dv = 0
Mais qu'a on fait de dt ?

@Courtois

$dvdt\dfrac{dv}{dt}$ correspond à la dérivée de la vitesse par rapport à la variable temps.
Or $v = 10$ qui ne dépend pas de $t$ donc $dvdt=0\dfrac{dv}{dt}= 0$ .
Si on avait par exemple $v = 8 t$ alors $dvdt=8\dfrac{dv}{dt}= 8$

@Noemi
Tout es clair maintenant , Merci

@Courtois

C'est parfait si tu as tout compris.