Equation différentielle

Bonjour, j'ai un soucis avec un exercice d'équation différentielle.
Nous avons l'équation (E): (t^2)x' + 2x =3
Je devais l'écrire sous la forme x'(t) = a(t)x(t) +b(t)
J'ai donc trouvé : x' = (- 2/t^2)x + 3/t^2
On nous demande ensuite de se placer dans l'intervalle I=]0;+infini[
Et d'écrire l'équation homogène (H) associé à (E). J'ai donc trouvé x'(t) + (2/t^2)x = 0
On nous demande alors de trouver une primitive de a(t) donc de -2/t^2, ici j'ai trouvé
a'(t) = 2/t
Seulement je dois donc résoudre (H) et là je bloque car je ne vois pas par où commencer, et ne sais pas s'il y a une méthode particulière de résolution. Je n'ai rien trouver dans mon cours.
J'ai du mal avec les questions suivante également mais j'aimerais déjà débloquer celle-ci.

@Coline , bonjour,

Fait attention à l'écriture.

Une primitive de a(t) ne peut pas s'écrire a'(t) car c'est la notation pour la dérivée...
Tu peux écrire par exemple , pour une primitive $A(t)=2tA(t)=\dfrac{2}{t}$

Pour résoudre l'équation homogène (H), remarque le propriété ici, si tu ne l'as pas trouvée dans ton cours :

http://www.cmap.polytechnique.fr/~lefebvre/SEMESTRE_EV2/Cours5.pdf

Cela te donne $x=λe−A(t)x=\lambda e^{-A(t)}$

Il faut une condition initiale pour trouver la valeur de $λ\lambda$

@Coline Bonjour,

Tu as : $x′(t)x=−2t2\dfrac{x'(t)}{x}=-\dfrac{2}{t^2}$

calcule la primitive de chaque membre.

@Coline , la résolution de l'équation homogène (H) ne doit pas, effectivement, être le but de ton exercice.
Je suppose que tu dois ensuite résoudre (E).

Dans le lien que je t'ai indiqué, tu as le paragraphe 1.1 pour l'équation homogène et le paragraphe 1.2 pour l'équation dite "avec second membre" qui doit te servir pour la suite.

Bons calculs.