Déterminer les dimension d'une boite - fonctions plusieurs variables

[dounia032]

Bonjour, j'ai besoin d'aide pour résoudre un devoir maison, sur le thème des fonctions à plusieurs variables ?

On veut construire une boite entièrement fermée constituée de 2 parallélépipèdes rectangles ,
la plus légère possible (avec le minimum de surface possible) dont le volume du parallélépipède du bas doit être égal à V = xyz = 32/5.
Quelles doivent être ses dimensions : largeur (x), longueur (z), et hauteur (y)?

Je ne vois pas par où commencer, si quelqu'un pourrait m'aiguiller ?

[Noemi]

@dounia032 Bonjour,

Commence par calculer l'aire de toutes les surfaces en fonction de $x$, $y$ et $z$.

[dounia032]

Bonjour, si j'ai bien compris je n'ai que deux surface en fonction de x et y donc :

. 1/2y X (x-1)
. yx

[Noemi]

@dounia032

Tu utilises aussi $z$

Puis tu fais la somme de toutes les surfaces.

[dounia032]

J'obtiens : ( j'ai essayé simplifier )

z(x-1) + y(x-1) + 3yz +2yx + xz + 1z

[Noemi]

@dounia032

Tu peux encore simplifier en développant.

Tu utilises ensuite le fait que $V=xyz=\frac{32}{5}$
pour remplacer $z$ par $\frac{32}{5xy}$

puis tu écris la relation $S=f(x;y)$

[dounia032]

En simplifiant j'ai,

2zx + 3yx + 3yz - y

en remplaçant z par 32/5 :

(64/5xy)x + 3yx + (96/5xy)y - y

Après je ne comprend pas comment écrire la relation y=f(x) ,

[Noemi]

@dounia032

Tu peux simplifier l'expression.
Il faut ensuite chercher le minimum de cette fonction qui correspond à la surface :
$S(x,y)=...$

[dounia032]

j'ai : (64x + 15x^2y^2 + 96y - 5xy^2) / (5xy)

Je n'arrive pas à trouver le minimum

[Noemi]

@dounia032

A partir du volume que peut-on dire sur les valeurs possibles pour les trois variables.
Cherche ensuite s'il existe des points critiques.

[dounia032]

Je crois qu'il n'existe pas de point critique car en calculant :

.3y - 96/5x^2 = 0 (dérivé par rapport à x)

.-64/5y^2 + 3x - 1 = 0 (dérivé par rapport à y)

je n'obtient pas de vrai résultat

[Noemi]

@dounia032

Tu peux trouver un point critique (2;8/5)

[dounia032]

Je vais essayer de trouver ça demain !

merci pour aujourd'hui !

[dounia032]

@Noemi

Re bonjour,
Je n'arrive toujours pas à trouver ce point critique, peut être que je me suis trompé dans les surfaces à prendre en compte ?

[Noemi]

@dounia032

Résous le système, tu isoles $y$ de la première équation que tu remplace dans la deuxième.
Tu obtiens une équation de degré 4 mais avec une racine évidente $x=2$.

[dounia032]

j'obtiens (-5/16)x^4 + 3x - 1 = 0

Du coup je trouve bien le point critique (2;8/5) en remplaçant x=2 pour y = 96/15x^2

Il s'agit là du minimum ?

[Noemi]

@dounia032

Il faut vérifier si c'est un minimum.
Calcule $S(2;8/5)$.
Tu écris ensuite $S(x,y)$ en posant $u=x-2$ et $v=y-8/5$.

[dounia032]

j'ai : S(2;8/5) = 176/5

[Noemi]

@dounia032

Je trouve 128/5.

[dounia032]

Ah oui en effet je me suis trompé dans le calcul

[dounia032]

donc le minimum est bien 128/5 atteint en (2;8/5)

[Noemi]

@dounia032

Tu écris ensuite $S(x,y)$ en posant $u=x-2$ et $v=y-8/5$.
et tu vérifies que c'est supérieur à 128/5.

[dounia032]

Je ne comprend pas trop quoi faire de u et v

[Noemi]

@dounia032

Tu remplaces $s$ par $u+2$ et $y$ par $v+8/5$ pour montrer que :
$S(x,y)\ge \frac{128}{5}$

[dounia032]

je trouve un très grand nombre

[Noemi]

@dounia032

Sauf erreur de calcul, tu dois trouver :
$\frac{64}{5(v+8/5)}+(v+8/5)(3u+5)+\frac{96}{5(u+2)}$

[dounia032]

Oui j'avais bien trouvé ça, j'aurais pas du autant développer

[dounia032]

finalement j'obtiens une grande équation et isole seulement les nombres qui ne possède pas de u ni de v et j'ai 2048/80 qui est égale à 128/5

[Noemi]

@dounia032

Il faut montrer que l'expression est toujours supérieure ou égale à 128/5.

[dounia032]

ça peut justifier que S(x;y)>= 128/5 ?

[dounia032]

Je dois faire apparaître un terme de degré 2 pour intégrer le signe >= 0 ?

[Noemi]

@dounia032

Si possible.

[dounia032]

Je suis un peu bloqué, je n'arrive pas à faire apparaître un carré car j'ai des termes différents qui ne peuvent pas s'additionner entre eux.
J'ai essayé de développer l'expression mais je vois pas comment intégrer le signe >=

[Noemi]

@dounia032

Le cours indique t-il une autre méthode pour déterminer un minimum ?

[dounia032]

Le cours évoque les formes quadratiques, cependant je n'ai pas accès à la totalité du cours car le professeur nous donne le devoir maison avant, pour nous pousser à chercher

[Noemi]

@dounia032

Calcule les dérivées secondes.

[dounia032]

Je trouve :

. 3v + (24/5) - (480/(5u+10)^2)

. (-320/(5v+8)^2) + 3u + 5

[Noemi]

@dounia032

Calcule les dérivées secondes en partant du résultat des dérivées premières.
$\frac{\partial S}{\partial x}=3y-\frac{96}{5x^2}$

$\frac{{\partial }^{2}S}{\partial x^2}=\frac{192}{5x^3}$

$\frac{\partial S}{\partial y}=3x-\frac{64}{5y^2}-1$

$\frac{{\partial }^{2}S}{\partial y^2}=\frac{128}{5y^3}$

$\frac{{\partial }^{2}S}{\partial x\partial y}=3$

[dounia032]

par rapport à y j'ai :

. 128/5y^3

[Noemi]

@dounia032

Oui, j'ai indiqué les résultats.

calcule ensuite $h(2;8/5)$
et
$\frac{{\partial }^{2}S}{\partial x^2}(2;8/5)$

[dounia032]

∂^2S/∂x^2 (2;8/5) = 24/5
Je ne vois pas à quelle fonction correspond h

[Noemi]

@dounia032

$h(x,y)=\frac{{\partial }^{2}S}{\partial x^2}(x,y)\times \frac{{\partial }^{2}S}{\partial y^2}(x,y)-(\frac{{\partial }^{2}S}{\partial x\partial y}(x,y){)}^2$

[dounia032]

cela fait : h(2;8/5) = 24/5 x 25/4 - 3 = 21

[Noemi]

@dounia032

Le résultat est juste, tu as oublier le carré pour 3.

Comme $h(2,8/5)$ et $\frac{{\partial }^{2}S}{\partial x^2}$ sont supérieur à 0, alors $S(2,8/5)$est un minimum.

Tu conclus $x=2$, $y=8/5$, $z=2$.

[dounia032]

J'ai tout compris !
Je vous remercie beaucoup d'avoir pris le temps de m'aider !

[Noemi]

@dounia032

J'espère que tu as tout compris.

[dounia032]

Oui c'était très clair

[Noemi]

@dounia032

Parfait.

A+ si tu le souhaites.