équation différentielle

Bonjour,

Le circuit comprend une bobine d'induction L, une résistance R. L'origine du temps est à la fermeture du circuit.

À t=0, l'intensité i est nulle. La force électromotrice aux bornes du circuit est constante et égale à E. On sait que l'intensité i(t) est telle que, a
l'instant t > 0 on a: Li'(t) + Ri(t) = E

Déterminer la limite de i(t) lorsque t tend vers + ∞. Commenter ce résultat dans le contexte de l'énoncé.

@nenafer , bonjour,

Je ne sais pas ce que dit ton cours sur les équations différentielles.

Je te mets un lien:
https://fr.wikiversity.org/wiki/Équation_différentielle/Résolution_de_l'équation_différentielle_y'%3Day%2Bb

Por $a≠0a\ne 0$ , $y^{'} = a y + b$ a pour solution :
$y=keat−ba\boxed{y=ke^{at}-\dfrac{b}{a}}$ avec $k$ constante réelle.

Piste,

L'équation proposée peut s'écrire :
$i′(t)=−RLi(t)+ELi'(t)=-\dfrac{R}{L}i(t)+\dfrac{E}{L}$

Donc : après simplification :

$i(t)=ke−RLt+ERi(t)=ke^{-\dfrac{R}{L}t}+\dfrac{E}{R}$

Pour trouver $k$ , tu utilises la condition initiale :
pour $t = 0$ , $i (t) = 0$

Ensuite, dans la formule trouvée , tu fais tendre t vers $+∞+\infty$

Bonjour,

Raisonnement à la "physicien" ... sans math (ou presque)

On a à faire à un circuit LC attaqué par un générateur de tension continue.

Donc le courant va tendre vers une constante (pour t --> +oo), on aura alors i'(t-->+oo) = 0 (la dérivée d'une constante = 0)

Pour t--> +oo, on a alors R.i(t-->+oo) = E

Donc i tend vers E/R (pour (t-->+oo))

Reste à voir si ton prof est un matheux (qui attend alors une réponse dans la voie donnée par mtschoon), ou si il est plutôt "physicien" et veut pousser les élèves à "sentir" physiquement ce qui se passe (dans ce cas, c'est mon style de réponse qu'il attend).

Bonjour,

Comme @nenafer a posté dans la rubrique (Terminale S (rubrique de Maths)) avec le titre "équation différentielle", j'ai répondu "mathématiquement".

Si @nenafer avait posté sa question dans la rubrique "Mathématiques et Sciences Physiques", j'aurais attendu qu'une personne réponde "à la physicienne"...

@nenafer vera bien ce qui convient...

Bonjour,

Ma réponse n'était pas un reproche sur la manière "mathématique" de répondre.

Le site n'est pas explicite sur le choix des catégories.

Quand je vois :

Terminale S
Pose ici tes questions si tu es en classe de Terminale S

... Je ne vois pas en quoi cela limite les question aux mathématiques. (c'est peut-être écrit quelque part bien caché, comme les clauses écrites en tout petit sur certains contrats)

Il y a bien la rubrique :

Mathématiques et Sciences Physiques
Pose ici tes questions si elle touche également les sciences physiques.

... qui se trouve "perdue" après "Supérieur" et "Autres classes".

Celui qui ne sait pas où poster, poste au premier endroit qu'il voit mentionné et qui lui semble adéquat ... Donc ici en catégorie : "Terminale S".

Même si le titre de la demande est "équation différentielle" ... ce qui n'a rien d'anormal, la question concerne explicitement la valeur "stabilisée" de i(t) ...

Et cela est accessible sans calcul.

et @nenafer verra bien ce qui convient...

Bonsoir,

Depuis que j'y participe et bien avant, MATHFORU était un forum exclusivement de Mathématiques (comme son nom l'indique ).

Comme parfois des questions de physique s'y glissaient, Casebas a créé une rubrique "Mathématiques et Sciences Physiques" pour y mettre les questions relatives à ce sujet, quel que soit le niveau.

Casebas répondra bien mieux que moi sur ce sujet.

@mtschoon a dit dans équation différentielle :

Bonsoir,

Depuis que j'y participe et bien avant, MATHFORU était un forum exclusivement de Mathématiques (comme son nom l'indique ).

Comme parfois des questions de physique s'y glissaient, Casebas a créé une rubrique "Mathématiques et Sciences Physiques" pour y mettre les questions relatives à ce sujet, quel que soit le niveau.

Casebas répondra bien mieux que moi sur ce sujet.

Bonjour,

Je n'ai aucun soucis avec cela.

Cependant, quelle qu'ait été l'intention de Casebas en ajoutant la rubrique "Mathématiques et Sciences Physiques", l'important est ce que font les membres pour choisir une rubrique ...

Et ce sera, la plupart du temps, comme je l'ai indiqué, soit choisir la rubrique la plus visible qui semble les concerner... donc ici, la rubrique "Terminale S" avec le commentaire "Pose ici tes questions si tu es en classe de Terminale S" qui est la première à sauter aux yeux.

Sans une modification du logiciel du site qui imposerait de commencer par choisir entre "Mathématiques" et "Sciences Physiques" et ensuite une obligation de devoir choisir le niveau , avant accès à la rédaction de la question ...

ou bien qui commence par choisir le niveau mais impose ensuite (avant d'avoir accès à la rédaction de la question) de choisir entre "Mathématiques" et "Sciences Physiques", il y aura forcément des questions qui ne seront pas posées dans les bonnes rubriques.

Ceci dit, ces modifications peuvent être un peu lourdes à apporter pour le gain en clarté qu'elles apporteraient.
Laisser les choses en état n'est pas vraiment grave, même si cela peut engendrer parfois une certaine indécision sur la meilleure manière de répondre.

Bonjour,

Pour revenir sur le sujet de ce topic, voici la site de Maths dont il semble être tiré :
C'est l'énoncé 17
https://www.lyceedadultes.fr/sitepedagogique/documents/math/mathTermSpe/07_primitives-eq_diff/07_exos_primitives_eq_diff.pdf

Bonjour,

Oui, c'est clairement un exercice donné par un prof de math.

Un orienté "physique" aurait utilisé le symbole adéquat par le générateur de tension et aurait indiqué les sens de E et de i choisis sur le schéma.

A chacun son métier.

Bonjour,

Tout à fait !

Vu le site et la série d'exercices "Primitives et Equations différentielles", le doute n'est pas permis.

@nenafer a posé une question sur la résolution d'une équation différentielle linéaire d'ordre 1, sans second membre, la condition initiale étant là pour déterminer la valeur de la constante.

Bonne journée.

@nenafer , bonjour,

Une piste pour la fin, si besoin.

La condition pour $t = 0$ permet de trouver $k=−ERk=-\dfrac{E}{R}$

D'où :

$i(t)=−ERe−RLt+ER\boxed{i(t)=-\dfrac{E}{R}e^{-\dfrac{R}{L}t}+\dfrac{E}{R}}$

Vu que $lim⁡t→+∞e−RLt=0\displaystyle{\lim_{t\to +\infty}e^{-\dfrac{R}{L}t}=0}$ ( revois les propriété de la fonction exponentielle si besoin), tu déduis :

$lim⁡t→+∞i(t)=ER\boxed{\displaystyle{\lim_{t\to +\infty}i(t)=\dfrac{E}{R}}}$

Bon travail !