Besoin d'aide pour Dm tle spé maths géométrie dans l'espace

Bonjour,

J'ai un DM de Tle Spé Maths mais je galère un peut si quelqu'un pouvais m'aider. Merci d'avance

Voici le sujet

On considère un cube ABCDEFGH d'arête 1.

(https://photos.app.goo.gl/aZpp7ygQtPzHLLPv8)

a. Exprimer plus simplement le vecteur AB + AD +AE. b. En déduire que le produit scalaire AG .BD est nul.

c. Démontrer de ème que le produit scalaire AG BE est nul. d. Démontrer que la droite (AG) est orthogonale au plan (BDE).

Soit I le centre de gravité du triangle BDE. Déduire de 1. a. que le point I est le point d'intersection de la droite (AG) et du plan (BDE), et préciser la position du point I sur le segment [AG].
Dans cette question, l'espace est orienté par le repère orthonormal direct (A; AB, AD, AE).

a. Écrire une équation du plan (BDE).

b. Écrire une représentation paramétrique de la droite A passant par le point H et orthogonale au plan (BDE).

c. Déterminer les coordonnées du point d'intersection J de la droite A avec

le plan (BDE).

d. En déduire la distance du point H au plan (BDE).

@Nabil-Bks , bonjour,

Piste pour démarrer,

1 )a)
$AB→+AD→=AB→+BC→=AC→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$

$AC→+AE→=AC→+CG→=AG→\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CG}=\overrightarrow{AG}$

Donc

$AB→+AD→+AE→=AG→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AG}$

1 )b) Conséquence

$AG→.BD→=(AB→+AD→+AE→).BD→\overrightarrow{AG}.\overrightarrow{BD}=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}).\overrightarrow{BD}$

Tu peux écrire (en utilisant encore le a)
$AG→.BD→=(AC→+AE→).BD→\overrightarrow{AG}.\overrightarrow{BD}=(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AE}).\overrightarrow{BD}$

Tu développes et tu obtiens deux produits scalaires nuls (car vecteurs orthogonaux), d'où:
$AG→.BD→=0→\overrightarrow{AG}.\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{0}$

Pour le 1 )c), tu pratiques de la même façon pour prouver que $AG→.BE→=0→\overrightarrow{AG}.\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{0}$ et tu pourras tirer la conclusion demandée.

Essaie de poursuivre.