exercice sur le PGCD

Bonjour, je bloque sur quelques questions d'un exercice portant sur le PGCD et ses applications:
Voici la première:
Combien de couples d'entiers naturels (a;b) vérifient PGCD(A;B)=42 et a+2b=336 ?
Je ne sais pas du tout comment faire...
Merci pour votre aide et pour le temps que vous prendrez à me répondre.

Bonjour,

Peut-être pas comme enseigné actuellement ...

a et b dans N*

a = 42.C
b = 42.D
(Avec C et D dans N*)

a + 2b = 336
42C + 84D = 336
C + 2D = 8

--> C est pair strictement positif.

C = 2 ; D = 3 --> a = 84 et b = 126
C = 4 ; D = 2 --> a = 168 et b = 84 (mais ici PGCD(a,b) = 84 --> va pas) (on le voit directement par le fait que C et D ne sont pas premiers entre eux)
C = 6 ; D = 1 --> a = 252 et b = 42
C >= 8 --> D < 0 et b < 0 --> interdit

Les couples (a,b) solutions sont (84,126) et (252,42)

bonjour j'allais tout juste commencer à écrire ma réponse, j'avais fini par comprendre. Je retrouve exactement comme vous. Merci beaucoup ! J'ai manqué les deux seuls cours durant lesquels ce chapitre a été abordé donc j'ai un peu de mal sur certains points... Merci encore ! Je reviens vers vous si je rencontre à nouveau des difficultés.

Voici l'autre question pour laquelle je rencontre des difficultés : Un entier a est divisible par b et c avec PGCD(b ; c) = 6.
Par quoi a est-il divisible ?

b x c ?
6 ?
b x c x 6 ?
36 ?

Je suppose que c'est une propriété du cours mais je ne la trouve pas, avez-vous une idée ?

Rebonjour,

Supposons a = 6 ; b = 6 et c = 6

On a bien a est divisible par b et c avec PGCD(b ; c) = 6.

a (=6) n'est pas divisible par 36 ...
a (=6) n'est pas divisible par b * c = 36
a (=6) n'est pas divisible par b * c * 6 = 216

La seule proposition qui reste possible est : a (=6) est divisible par 6

Reste à démonter que "a est divisible par 6" est vraie pour tout a, b et c conforme à l'énoncé (soit : a est divisible par b et c avec PGCD(b ; c) = 6.)
... ce qui n'est pas difficile.

Remarque, les méthodes que j'emploie ne sont peut-être pas celles enseignées aujourd'hui.

@gregory a dit dans exercice sur le PGCD :

Merci.
Puisque le PGCD est 6 alors B et C seront forcément des multiples de 6 et donc A sera toujours divisible par B et C non ?

Il ne reste plus que deux questions sur lesquelles je bloquais, voici la première:
Le PGCD de deux nombres entiers a et b est 12; les quotients successifs obtenus dans le calcul de ce PGCD par l'algorithme d'Euclide sont respectivement 8 ; 2 et 7. Quel est le plus grand de ces deux nombres ?
Je ne vois pas du tout comment il faut faire, merci de m'aider.

Bonjour,

@gregory , je regarde exclusivement ta dernière question posée (je n'ai pas regardé les précedentes) :

Le PGCD de deux nombres entiers a et b est 12; les quotients successifs obtenus dans le calcul de ce PGCD par l'algorithme d'Euclide sont respectivement 8 ; 2 et 7. Quel est le plus grand de ces deux nombres ?

Tu revois soigneusement la méthode de l'agorithme d'Euclide (divisions successives).

Ici il faut penser l'algorithme "à l'envers", c'est à dire en partant de la fin.

$(12×7)+0=84(12\times 7)+0=84$
$(84×2)+12=180(84\times 2)+12=180$
$(180×8)+84=1524(180\times 8)+84=1524$

Ainsi $P G C D (1524, 180) = 12$
Tu as le plus grand des deux nombres et aussi le plus petit.

Pour être sûr de maîtriser, tu vérifies, aves l'algotithme d'Euclide (dans le bon sens ) que tu obtiens bien :
$P G C D (1524, 180) = 12$ , avec les bons restes successifs.

PGCD(1524;180)=12 plutôt non ? Vous avez écris par erreur (je crois) PGCD(1584;180) = 12.
C'est ce que j'avais essayé de faire mais je m'étais compliqué la vie pour rien... Merci.

@gregory
Oui tout à fait ; faute de frappe. C'est bien $1524$ .

C'est ce que je me disais, merci beaucoup. Voici la dernière question, j'y ai réfléchi en attendant votre confirmation mais je ne trouve toujours pas...
L'équation ax + by = c (avec a, b et c entiers) d'inconnues les entiers x et y

n'a des solutions que pour c = 1 ?
a des solutions si, et seulement si, a et b sont premiers entre eux ?
n'a de solutions que si le PGCD de a et b divise c ?
n'a de solutions que si le PGCD de a et b est égal à c ?

@gregory ,

Je te joins un lien (regarde le 2), qui doit t'aider à répondre à cette question sur les équations diophantiennes, existence de solutions.

https://www.educastream.com/equations-diophantiennes-terminale-s

Merci beaucoup, après avoir tout lu je dirais qu'il y a des solutions seulement si le PGCD de a et b divise c, c'est ça ?

@gregory ,

Oui. C'est même une CNS (si et seulement si )

condition nécessaire et suffisante d’existence d’une solution :

L’ équation (E) : ax + by = c admet au moins une solution si et seulement si le PGCD de a et de b divise c.

ça marche, merci beaucoup !

Bonjour,

Oui @gregory , ça marche, mais il ne faut pas marcher trop vite !

Je regarde ce que tu as écrit.
Pour prouver que : "Si a est divisible par b et c avec PGCD(b,c)=6, alors a est divisible par 6", tu as indiqué :

Puisque le PGCD est 6 alors B et C seront forcément des multiples de 6 et donc A sera toujours divisible par B et C non ?

C'est vraiment confus.
Tu aurais pu dire que, avec les données en hypothèse :
$6 ∣ b$ et $b ∣ a$ donc $6 ∣ a$
De même, $6 ∣ c$ et $c ∣ a$ donc $6 ∣ a$
d'où la conclusion souhaitée.

Bon travail.