Question d'arithmétique

[galois]

salut
a et b sont deux entiers tels que :a^2+b^3 =7
montrer que b est impair

[mtschoon]

@galois , bonjour,

@galois a dit dans Question d'arithmétique :

a et b sont deux entiers tels que :a^2+b^3 =7
montrer que b est impair

Je regarde ta question.
Soit b solution de $a^2+b^3=7$
Je te conseille de raisonner par l'absurde pour prouver que b ne peut pas être pair ( donc qu'il sera impair)

Une piste possible,

1er cas : a pair et b pair.
En utilisant les propriétés usuelles, $a^2+b^3$ pair, or 7 est impair, donc égalité impossible.

2ème cas : a impair et b pair.
Soit $a=2p+1$ et $b=2n$
L'égalité s'écrit:
$(2p+1{)}^2+(2n{)}^3=7$
En développant, tu obtiens :
$4p^2+4p+1+8n^3=7$
$4p^2+4p+8n^3=6$
En divisant par 2, tu obtiens
$2p^2+2p+4n^3=3$
$2(p^2+p+2n^3)=3$
En comparant la parité de chaque membre (membre de gauche pair et membre de droite impair), tu tires la conclusion sur l'impossibilité.

D'oùla conclusion finale : b ne peut pa être pair, donc ....

[galois]

@galois je pense que je viens de trouver une idée
Si b est pair alors b^3 est congru à 0 modulo 8
Ainsi a^2 est congru à 7 mod 8 ce qui n'est pas vrai en determinant les restes possibles de a^2 par 8

[mtschoon]

@galois ,

C'est une autre façon de trouver une contradiction.
Ton idée me parait bonne.

[Black-Jack]

@mtschoon a dit dans Question d'arithmétique :

prouver que b ne peut pas être pair ( donc qu'il sera impair)

Bonjour,

Je me pose une question ...

Peut-on dire :
"prouver que b ne peut pas être pair ( donc qu'il sera impair)"

... car, il ne pourrait bien que le problème : "a et b sont deux entiers tels que :a^2+b^3 =7" n'ait pas de solution. Si c'est le cas, alors b ne pourrait être ni pair ni impair.

Attention, je n'ai pas dit que le problème était sans solution ... mais ce n'est pas démontré.

[galois]

@Black-Jack effectivement à la fin on nous propose de conclure que cette équation n'a pas de solution

[mtschoon]

Bonjour ,

@galois , je trouve l'énoncé donné cohérant, bien que la première question ne soit pas suffisamment explicitée.

Bien sûr, cela aurait été plus clair de donner la totalité dès le début, pour se mettre dans ''l'esprit" de l'exercice

Si j'ai bien lu, à la première question, sans préjuger sur la résolution de l'équation, pour des raisons de parité, tu as prouvé que b était nécessairement impair (car ne pouvait pas être pair).

Pour la seconde question, b, solution, était nécessairement impair, tu peux chercher la parité possible de a (sans calculs, en raisonnant avec les propriétés usuelles).
Sauf erreur, a est nécessairement pair.

Ensuite, par exemple en posant a=2p et b=2n+1 (p et n entiers), en explicitant, tu dois arriver à une égalité du type :
"impair=pair", d'où impossible.

Vérifie tout ça.

Si besoin je te mets un lien sur les propriétés de la parité et imparité.
https://le-castillon.etab.ac-caen.fr/IMG/pdf/Nombre_pair_-_Nombre_impair.pdf

[Black-Jack]

@mtschoon a dit dans Question d'arithmétique :

Si j'ai bien lu, à la première question, sans préjuger sur la résolution de l'équation, pour des raisons de parité, tu as prouvé que b était nécessairement impair (car ne pouvait pas être pair).

Bonjour,

On ne peut pas écrire cela ...

Une démo par l'absurde ne peut fonctionner que si la "proposition" n'a que 2 états possibles et qu'ils s'excluent mutuellement.

Ici, c'est faux, il n'y a pas 2 possibilités qui s'excluent mutuellement.
Il y a une 3ème possibilité qui est que l'équation donnée n'a pas de solution.

L'énoncé est donc bancal.
On ne peut pas montrer que b doit être impair... puisque b n'existe pas.

On peut montrer que b ne peut pas être pair ... mais on ne peut pas en conclure ... donc il est impair.

Ce n'est pas de l'ergotage.

[mtschoon]

@Black-Jack , bonjour,

Je comprends tout à fait ce que tu veux dire, mais je ne vais pas polémiquer sur la valeur de l'énoncé !

Je pense avoir répondu à ce qui était attendu.

Si la question 1 avait était mieux écrite, il n'y aurait pas eu de "faille" pour qu'un "3ème état" s'y engouffre.

@galois pourra parler de son énoncé avec son professeur ou avec toi.

D'aileurs, on ne connait pas la formulation exacte de l'énoncé donné par le professeur (peut-être du genre," si b est solution, démontrer qu'il est impair"). C'est ce que je pense, et c'est ce que le professeur pensait forcément, donc pas de "3ème état".

C'est à cette interprétation que j'ai répondu, bien sûr (pas de 3ème état).

Peut-être que Galois précisera.

Bonne journée .

[mtschoon]

Bonjour tout le monde.

Galois n'a rien précisé.
(Peut-être est-il satisfait de l'aide apportée, ce que j'espère )

Pour que ça soit clair, je me permets une résumé de la démarche, en améliorant la formulation du départ, pour éviter toute faille de "3ème état".

Cet exercice consiste en une méthode judicieuse pour prouver que l'équation $(E)$ $a^2+b^3=7$, avec a et b entiers, est impossible.

RESUME
Si b est solution de $(E)$, alors b est une solution impaire, d'où , après raisonnement, a est une solution paire.
Après substitution dans $(E)$, il y a impossibilité.
Contradiction !
L'hypothèse de travail "b est solution de $(E)$" est donc fausse,

Conclusion : b ne peut pas être solution de $(E)$
L'équation $(E)$ est impossible.

Remarque : il serait plus correct de parler de valeur de b et de valeur de a solutions, mais j'ai utilisé la formulation de l'énoncé.

Bonne lecture éventuelle et surtout bon dimanche.