Oral de mathématiques - triangle isocèle - calcul d'angles

Bonjour à tous les membres de ce forum! En vue de la préparation d'un oral de mathématiques, je dois pouvoir analyser le schéma suivant et être capable de dire qqch du point P. Jusqu'à maintenant, nous avons utilisé les théorèmes de Pythagore, cercle de Thalès, calcul d'angles... Nous n'avons pas d'instruments à disposition, ni de calculatrice. Tout doit être déduit. Est-ce que quelqu'un pourrait m'aiguiller sur les indications à fournir concernant le point P?! Merci beaucoup pour vos aides/pistes! Screenshot 2021-06-13 at 11.46.54.png

@Flo-Flo Bonjour,

Tu devrais indiquer tes éléments d'observations et/ou de réponse.
Le point $P$ appartient à la hauteur du triangle $A M N$ .
Que peut-on dire de $A M$ par rapport au triangle $A B C$ ?
Que peut-on dire des droites $(P N)$ et $M C$ ?

@Noemi a dit dans Oral de mathématiques - triangle isocèle - calcul d'angles :

Le point PPP appartient à la hauteur du triangle AMNAMNAMN.
Que peut-on dire de AMAMAM par rapport au triangle ABCABCABC ?
Que peut-on dire des droites (PN)(PN)(PN) et MCMCMC ?

Bonjour @Noemi ! Merci pour tes pistes! Alors voici ce que je vois...
La droite AM est la médiane du triangle ABC car elle va du sommet et coupe le segment opposé en sa moitié. L’angle AMC a l’air d’être droit mais comment le prouver?
PN a l’air d’être parallèle à MC mais comment le prouver sans règle et uniquement par déduction? Si ces deux droites sont bien parallèles, alors elles ont des angles similaires, notamment un possible angle droit.
Je me demande aussi: Est-ce que le point P serait le point d’intersection des trois médiatrices car les trois droites qui forment le point d’intersection sont à chaque fois des hauteurs de triangles avec angle droit semble-t-il mais, à part H qui est donné comme angle droit, je ne sais pas comment prouver que les autres sont aussi à angle droit (si tel est le cas!). Est-ce que mes réflexions vont dans le bon sens?

Bonjour,

Le triangle BAN est isocèle en A --> AM est à la fois médiane, médiatrice et hauteur de ce triangle
---> (AM) est perpendiculaire à (BC) (1)

PN passe le milieu de 2 cotés (MH et HC) du triangles MHC --> PN est parallèle au 3ème coté MC de ce triangle.

Comme MC est perpendiculaire à AM (par (1)) et que PN est parallèle au 3ème coté MC

---> (PN) est donc perpendiculaire (AM) ... et donc (PN) porte la hauteur issue de N du triangle AMN

(MH) est perpendiculaire à (AN) par hypothèse et donc MH est la hauteur issue de M du triangle AMN

P est le point de rencontre de 2 hauteurs du triangle AMN, c'est donc l'orthocentre de ce triangle.

(On peut aussi dire que (AP) supporte la hauteur issue de A du triangle AMN)

Bonjour @Black-Jack et merci pour votre aide! Une petite question: comment peut-on affirmer que AM est perpendiculaire à BC?

@Flo-Flo Bonjour,

La réponse est indiquée :
Le triangle BAN est isocèle en A.
AM est la médiane issue du point A et dans ce cas c'est aussi la hauteur donc les droites (AM) et (BC) sont perpendiculaires.

Merci @Noemi, j'avais loupé une information, merci pour ton rappel! Bonne journée! Flo.