Exercice d'algèbre première année


  • C

    On étudie l'évolution dans le temps d'une population animale. À la date n ( n en année), cette population se subdivise en Xn jeunes et Yn adultes. L'année comporte une saison hivernale et une saison de reproduction. Lors de la saison hivernale, 40% des jeunes survivent et deviennent des adultes, et 80% des adultes survivent. Lors de la saison de reproduction, chaque adulte donne naissance à 2 jeunes ( en fait 4par femelle) . Tous les adultes survivent.

    1- Exprimer Xn+1 et Yn+1 en fonction de Xn et Yn. Écrivez matriciellement le résultat obtenu .
    2- Calculez Xn et Yn en fonction des valeurs initiales x0 et y0 du début de l'observation .


  • mtschoon

    @Connaissance , bonjour,
    Pense à une formule de politesse une autre fois.

    Regarde peut-être ici :
    https://forum.mathforu.com/topic/31634/système-linéaire-de-matrice/2


  • C

    @mtschoon Bonjour.
    Voici ce que j'ai obtenu
    1-
    Xn +1= 2Xn + Yn
    Yn+1= 0,4Xn + 0,8 Un

    Écriture matricielle: Xn+1= AXn ------->
    (Xn+1;
    Yn+1)= ( 2. 1; 0,4 0,8)
    2- calcul de Xn et Yn
    Xn= A°( Xo Yo)---------->
    Xn= 2 Xo + Yo
    Yn= 0,4Xo + 0,8 Yo


  • mtschoon

    @Connaissance , bonjour,

    L'expression de Xn+1X_{n+1}Xn+1 que tu donnes n'est pas exacte.

    Celle de @mimims dont je t'ai indiqué le lien est exacte.

    Si besoin, je t'explicite la démarche.
    Soit XnX_nXn et YnY_nYn les valeurs une année n.
    Il faut détailler ce qui se passe au cours de l'année suivante (n+1).

    A la fin de la saison hivernale, il n'y a plus de jeunes (population de jeunes =0) et la population d'adultes vaut 0.4Xn+0.8Yn0.4X_n+0.8Y_n0.4Xn+0.8Yn
    Ensuite, vient la saison de reproduction.
    A la fin de cette saison de reproduction, le nombre d'adultes n'a pas changé donc il vaut toujours 0.4Xn+0.8Yn0.4X_n+0.8Y_n0.4Xn+0.8Yn
    Chaque adulte ayant donné naissance à 2 jeunes, le nombre de jeunes est alors le double que le nombre d'adultes soit 0+2(0.4Xn+0.8Yn)=0.8Xn+1.6Yn0+2(0.4X_n+0.8Y_n)=0.8X_n+1.6Y_n0+2(0.4Xn+0.8Yn)=0.8Xn+1.6Yn

    Conclusion :
    Xn+1=0.8Xn+1.6Yn\boxed{X_{n+1}=0.8X_n+1.6Y_n}Xn+1=0.8Xn+1.6Yn
    Yn+1=0.4Xn+0.8Yn\boxed{Y_{n+1}=0.4X_n+0.8Y_n}Yn+1=0.4Xn+0.8Yn

    Lorsque tu as bien assimilé cela, tu regardes le lien donné pour les conséquences.