Exercice d'algèbre première année

[Connaissance]

On étudie l'évolution dans le temps d'une population animale. À la date n ( n en année), cette population se subdivise en Xn jeunes et Yn adultes. L'année comporte une saison hivernale et une saison de reproduction. Lors de la saison hivernale, 40% des jeunes survivent et deviennent des adultes, et 80% des adultes survivent. Lors de la saison de reproduction, chaque adulte donne naissance à 2 jeunes ( en fait 4par femelle) . Tous les adultes survivent.

1- Exprimer Xn+1 et Yn+1 en fonction de Xn et Yn. Écrivez matriciellement le résultat obtenu .
2- Calculez Xn et Yn en fonction des valeurs initiales x0 et y0 du début de l'observation .

[mtschoon]

@Connaissance , bonjour,
Pense à une formule de politesse une autre fois.

Regarde peut-être ici :
https://forum.mathforu.com/topic/31634/système-linéaire-de-matrice/2

[Connaissance]

@mtschoon Bonjour.
Voici ce que j'ai obtenu
1-
Xn +1= 2Xn + Yn
Yn+1= 0,4Xn + 0,8 Un

Écriture matricielle: Xn+1= AXn ------->
(Xn+1;
Yn+1)= ( 2. 1; 0,4 0,8)
2- calcul de Xn et Yn
Xn= A°( Xo Yo)---------->
Xn= 2 Xo + Yo
Yn= 0,4Xo + 0,8 Yo

[mtschoon]

@Connaissance , bonjour,

L'expression de $X_{n+1}$ que tu donnes n'est pas exacte.

Celle de @mimims dont je t'ai indiqué le lien est exacte.

Si besoin, je t'explicite la démarche.
Soit $X_n$ et $Y_n$ les valeurs une année n.
Il faut détailler ce qui se passe au cours de l'année suivante (n+1).

A la fin de la saison hivernale, il n'y a plus de jeunes (population de jeunes =0) et la population d'adultes vaut $0.4X_n+0.8Y_n$
Ensuite, vient la saison de reproduction.
A la fin de cette saison de reproduction, le nombre d'adultes n'a pas changé donc il vaut toujours $0.4X_n+0.8Y_n$
Chaque adulte ayant donné naissance à 2 jeunes, le nombre de jeunes est alors le double que le nombre d'adultes soit $0+2(0.4X_n+0.8Y_n)=0.8X_n+1.6Y_n$

Conclusion :
$\boxed{X_{n+1}=0.8X_n+1.6Y_n}$
$\boxed{Y_{n+1}=0.4X_n+0.8Y_n}$

Lorsque tu as bien assimilé cela, tu regardes le lien donné pour les conséquences.