équation fonctionnelle ; dérivée

[yassmath]

BONJOUR,

j'ai un problème de math , on me demande :

calculer f' d'une fonction dérivable tq : pour tout x et y appartiennent à l'ensemble R :

                                  f ( x+y ) = f(x).f(y)

est ce que vous pouvez m'aider à le résoudre ?

[Noemi]

@yassmath Bonjour,

Cherche en premier les fonctions qui vérifient la propriété.

[Black-Jack]

La question est posée en "Supérieur"

Je présume qu'il faut donc trouver par démo les solutions et non les "deviner".

f(x+y) = f(x).f(y)

Des solutions triviales sont f(x) = 1 et f(x) = 0

Hors de ces solutions triviales :
y = 0 --> f(x) = f(x) * f(0)
f(x) * (1 - f(0)) = 0

Et donc soit f(x) est la fonction nulle (déjà trouvé), soit f(0) = 1

f(x+y) = f(x).f(y)
Pour x = X/2 et y = X/2 -->
f(X) = (f(X/2))²
--> f(X) >= 0 (pour tout X)

f(x+y) = f(x).f(y)
avec y = x --> f(2x) = (f(x))²

avec y = 2x : f(x + 2x) = f(x) * f(2x)
f(3x) = f(x) * (f(x))²
f(3x) = (f(x))³
Et ainsi, de proche en proche, on montre que f(nx) = (f(x))^n

Pour x = 1, il vient : f(n) = (f(1))^n
Posons f(1) = K

--> f(x) = K^x

Donc les expressions des f(x) telles que f(x+y) = f(x).f(y) sont :

a) f(x) = 0
b) f(x) = 1
c) f(x) = K^x (avec K une constante strictement positive (car f(x) >= 0 et f(x) = 0 a déjà été annoncé comme solution triviale)

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Sans garantie ... rien relu.

Si mon message est jugé trop précis (résolution plutôt que piste), il peut être supprimé.