établir la convergence et trouver la limite

Bonojur!

Je suis actuellement entrain de résoudre me demandant d'établir la convergence d'une suite et de trouver la limite dans le cas où elle existe.

Voici la suite :

Un = (n^2)/(3^n).

Est-ce que quelqu'un aurait une idée de quel méthode utiliser ?
Je suis bloquer et j'avoue ne pas trop comprendre comment démarrer.

Merci d'avance à tous ceux qui liront!

@MarauderShield Bonjour,

Une piste, montre que la suite est croissante et majorée.
ou décroissante et minorée.

@Noemi Merci pour la réponse rapide, je vais plancher dessus!

@MarauderShield , bonsoir,

Quelques indications possibles,

Après calculs, tu dois trouver :
$Un+1−Un=−2n2+2n+13n+1U_{n+1}-U_n=\dfrac{-2n^2+2n+1}{3^{n+1}}$

En étudiant le signe du numérateur (polynôme du second degré) , tu dois trouver que :
pour $n≥2n\ge 2$ , $Un+1−Un<0U_{n+1}-U_n\lt 0$
Tu pourras tirer la conclusion utile.

Vu que cette suite est à termes positifs, donner un minorant est simple.

Pour la limite, je te conseille de passer par $ln(U_n)$

Bons calculs .

@mtschoon Donc selon votre raisonnement, on fait Un+1 - Un pour trouver que la suite est décroissante ( car <0 ).
Elle est décroissante et on peut choisir qu'elle est minorée par 0.
Si une suite est décroissante et minorée, elle converge.

C'est ça ?

@MarauderShield ,

Oui, c'est tout-à-fait ça.
La suite est décroissante pour $n≥n\ge$ 2, minorée par 0 (ou tout nombre négatif), donc convergente.

Tu sais donc que sa limite existe.
Il te reste à la trouver ( en passant par la limite de $ln(U_n)$ , par exemple, comme je te l'ai déjà indiqué.

@mtschoon Ah oui, c'est le théorème de la convergence monotone non ?
C'est très efficace.

Quand à la limite, un théorème indique que la limite de ln(Un) = lim(Un) ?

@MarauderShield Ah non, j'imagine qu'il faut changer la forme de Un avec ln et exponentielle.

Je peux obtenir exponentielle(2ln(n)-nln(3))

En modifiant un peu la forme ça peut me donner exp(2ln(n)) * exp(-nln(3))

forme indeterminée +00 fois 0.

@MarauderShield ,

Il faut éviter les formes indéterminées...

Par exemple,tu peux écrire :
$ln(Un)=2ln(n)−nln(3)=−n(ln(3)+2ln(n)n)ln(U_n)=2ln(n)-nln(3)=-n\biggr(ln(3)+2\dfrac{ln(n)}{n}\biggr)$

Par théorème, $lim⁡n→+∞ln(n)n=0\displaystyle \lim_{n\to +\infty}\dfrac{ln(n)}{n}=0$

Donc $lim⁡n→+∞ln(Un)=−∞\displaystyle \lim_{n\to +\infty}ln(U_n)=-\infty$

Tu en déduis la limite de $U_n$

@mtschoon Et donc la limite de Un est 0, si je n'ai pas fait de bétise.
En tout cas, milles merci pour avoir pris du temps pour moi.
Les explications sont super-clair, et j'ai vraiment compris.

Merci beaucoup.

@MarauderShield ,

Oui, tout à fait, la limite de $U_n$ est bien 0.

Ravie que tu aies bien compris.

Bonne fin de dimanche et bonne semaine.

Bonjour,

En supérieur, on peut calculer lim(n--> oo) [n²/(3^n)] en appliquant 2 fois la règle du génial Marquis (celui de lHospital)

C'est quasi instantané.

lim(n--> oo) [n²/(3^n)] est une indétermination du type oo/oo ---> Règle de Lhospital.
= lim(n--> oo) [2n/(ln(3) * 3^n)] est une indétermination du type oo/oo ---> Règle de Lhospital.
= lim(n--> oo) [2/(ln²(3) * 3^n)] = 2/oo = 0

Vive le Marquis.

Bonjour,

Oui, bien "sympa" cette règle de l'Hôspital, mais, il y a parfois un "mais"...

Il y a quelque temps, sur ce forum, dans la rubrique "Supérieur" un étudiant avait précisé que son professeur n'autorisait pas cette règle, car, d'après lui, elle "évitait de penser"...
Alors, personnellement, j'évite de l'utiliser dans les réponses ...

Peut-être que @MarauderShield indiquera si son professeur l'utilise.

@mtschoon a dit dans établir la convergence et trouver la limite :

Bonjour,

Oui, bien "sympa" cette règle de l'Hôspital, mais, il y a parfois un "mais"...

Il y a quelque temps, sur ce forum, dans la rubrique "Supérieur" un étudiant avait précisé que son professeur n'autorisait pas cette règle, car, d'après lui, elle "évitait de penser"...
Alors, personnellement, j'évite de l'utiliser dans les réponses ...

Peut-être que @MarauderShield indiquera si son professeur l'utilise.

Bonjour,

Je te suis bien ...
Néanmoins, dans la "vraie vie", hors enseignement, celui qui n'utilise pas les méthodes les plus rapides seront sanctionnés (time is money).
Si un prof ne veut pas qu'on utilise une règle, c'est à lui de mettre des exercices où elle n'est pas applicable, sinon, il ferait mieux de changer de métier.
Le but est de rendre les étudiants le plus performant possible et pas d'obéir aux caprices mal placés des profs.

Vive le Marquis.

Re-bonjour,

Tu es dur , je trouve, @Black-Jack ...

Bien sûr qu'elle est très commode cette règle !

Je pense qu'il s'agit des précautions à prendre :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Règle_de_L'Hôpital#Précautions_à_prendre

Alors, pour cette raison, cette règle n'est pas conseillée pour les étudiants débutants. C'est ce qu'il me semble, mais je ne suis pas prof de fac !

@mtschoon a dit dans établir la convergence et trouver la limite :

Re-bonjour,

Tu es dur , je trouve, @Black-Jack ...
Je pense qu'il s'agit des précautions à prendre :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Règle_de_L'Hôpital#Précautions_à_prendre

Alors, cette règle n'est pas conseillée pour les étudiants débutants. C'est ce qu'il me semble, mais je ne suis pas prof de fac !

Bonjour,

Bien sûr il y a des précautions à prendre pour l'emploi de la règle de Lhospital.
D'abord pour savoir si elle est applicable au cas étudié et, dans le cas des formes généralisées, il faut savoir que si Lhospital ne conduit pas à une limite qui existe ... il se peut qu'une autre méthode aboutisse à une limite bien déterminée.

Ce n'est, en aucun cas une raison, pour ne pas utiliser cette règle en prenant quelques précautions d'usage.

Aucune "technique" ne permet de résoudre tous les problèmes et chacune des techniques oblige à prendre certaines précautions d'emploi.

Si on est incapable de voir si on peut ou non utiliser Lhospital dans un cas donné, on est tout aussi incapable, par exemple, de juger si un développement qu'on utiliserait est ou non convergent et est bien représentatif de la fonction là où on veut calculer la limite.

Pour faire un trou dans la terre, on peut utiliser une cuillère à soupe, une palette de jardinier, une bèche, une pelleteuse ou ...
On est prié d'utiliser l'outil le plus adéquat pour le problème traité (dans la vraie vie, c'est celui qui permet d'aboutir au résultat espéré le plus efficacement (en prix et en durée)) ... c'est pareil ici.
Si Lhospital permet, dans le problème posé, de lever une indétermination plus rapidement qu'une autre méthode ... il FAUT l'utiliser.

Mais ce n'est que mon avis.

Comme tout un chacun, @Black-Jack , tu as tout à fait le droit d'avoir ton avis !

La pédagogie et la rentabilité dans la "vraie vie" sont des notions assez différentes ...

Personnellement, je stoppe là cette discussion (certes intéressante) car ici, ce n'est pas un "café mathématique".

Bonne journée !

@mtschoon a dit dans établir la convergence et trouver la limite :

La pédagogie et la rentabilité dans la "vraie vie" sont des notions assez différentes ...

La pédagogie et la rentabilité dans la "vraie vie" sont des notions assez différentes ...

Certes, mais l'enseignement n'est-il pas censé donner les "armes" adéquates pour affronter la "vraie vie" ?
Cela semble oublié bien trop souvent.

Bonne soirée.