Suite - Trouver U(n) et sa limite

Bonjour, je suis bloqué à la fin de mon exercice.

L'énoncé est le suivant :

1)En déduire l'expression de Un en fonction de n.
2) Quelle est la limite de Un.

Voici les données dont on dispose :

Un+1 = 5-(4/Un)
Vn = 2.(1/4)^n
Un = (4+Vn)/(Vn+1)

Pouvez-vous m'éclairer svp ? Surtout à propos de la deuxième question.

Merci d'avance, cordialement.

@emilienmrtt , bonjour,

Il aurait été utile d'écrire ton énoncé exactement comme il t'a été donné.

Rien n'est indiqué sur le premier terme...
De plus, la dernière formule écrite est ambiguë
S'agit-il de $Un=4+VnVn+1U_n=\dfrac{4+V_n}{V_n+1}$ ou bien
$Un=4+VnVn+1U_n=\dfrac{4+V_n}{V_{n+1}}$

Merci pour ces précisions.

@mtschoon En premier temps, merci de votre réponse.
Le premier terme est U(0)=2.
En ce qui concerne U(n), c'est U(n)= (4+V(n))/(V(n)+1)

@emilienmrtt, merci pour tes précisions.

Principe :
Tu calcules $V_n$ en fonction de $U_n$ puis tu démontres que $V_n)$ est une suite géométrique ( en principe, cela est écrit dans un énoncé...)

Tu as donc :
$Un=4+VnVn+1U_n=\dfrac{4+V_n}{V_n+1}$

Tu fais les produits en croix, tu développes, tu mets les termes contenant $V_n$ dans le membre de gauche et tu laisses le reste à droite.
Tu mets $V_n$ en facteur.
Tu divises ppour isoler $V_n$ (avec la condition nécessaire : dénominateur non nul) et tu dois trouver:
$Vn=4−UnUn−1V_n=\dfrac{4-U_n}{U_n-1}$

Ensuite, tu calcules $V_{n+1}$ en fonction de $V_n$ par l'intermédaire de la suite $U_n)$ et tu dois trouver au final, sauf erreur :
$Vn+1=14VnV_{n+1}=\dfrac{1}{4}V_n$

Tout le reste s'en déduit.

Reposte si tu n'aboutis pas.

@mtschoon Justement, je suis arrivé à ce résultat mais je ne vois pas comment en déduire U(n) ...

@emilienmrtt ,

Si tu es arrivé à ce que j'ai indiqué, tu as fait le plus important.

$V_n)$ géométrique de raison $14\dfrac{1}{4}$

$Vn=V0(14)nV_n=V_0\biggr(\dfrac{1}{4}\biggr)^n$

Vu que $U_0=2$ , tu calcules $V_0$ et tu trouves : $V0=4−22−1=2V_0=\dfrac{4-2}{2-1}=2$

Donc $Vn=2(14)nV_n=2\biggr(\dfrac{1}{4}\biggr)^n$

Puis, $Un=4+2(14)n2(14)n+1\boxed{U_n=\dfrac{4+2\biggr(\dfrac{1}{4}\biggr)^n}{2\biggr(\dfrac{1}{4}\biggr)^n+1}}$
Tu déduis la limite (tu dois trouver 4 pour limite de $U_n$ ).

Reposte si besoin.

@mtschoon J'avais trouvé cette réponse mais je n'étais pas sûr que c'était ça. Donc il ne me reste que la déduction de la limite, mais là je ne vois absolument pas comment faire. Je sais que c'est 4 mais je connais pas la méthode pour la trouver.

@emilienmrtt , revois ton cours sur les suites géométriques.

$V_n=V_0q^n$

Pour q compris entre 0 et 1 , La suite $V_n)$ a pour limite 0

$lim⁡n→+∞2(14)n=0\displaystyle \lim_{n\to +\infty}2\biggr(\dfrac{1}{4}\biggr)^n=0$

Tu en déduis la limite de $U_n)$

@mtschoon Le problème c'est que nous n'avons jamais vu ça à cause du confinement et des autres mesures sanitaires. Et je ne vois pas quelle est la raison q de cette suite puisqu'elle n'est ni géométrique ni arithmétique.

@emilienmrtt , je comprends...

Ne confonds pas les deux suites.
C'est la suite $V_n)$ qui est géométrique de raison $14\dfrac{1}{4}$
$q=14q=\dfrac{1}{4}$
Donc, cette suite $V_n)$ converge vers 0

Donc, en conséquence :

$lim⁡n→+∞Un=4+00+1=4\displaystyle \lim_{n\to +\infty}U_n=\dfrac{4+0}{0+1}=4$

@mtschoon Ahhh, effectivement. Je comprends mieux maintenant. Je vous remercie énormément pour votre aide et pour votre temps.
Très bonne continuation à vous, et peut-être à une prochaine !

Bien cordialement.

De rien @emilienmrtt .

Revois tout ça de près et bon travail !
A+, si tu as besoin.