Développement limité de fonctions composées

[Wil Fried]

Bonjour à tous svp j'ai besoin d'aide.
On m'a demandé le DL de 1/(1+x) au voisinage de 0 à l'ordre 3. Ce que j'ai donné.
A la seconde question on me demande le DL de cette fois ci 1/(1+e^x). Je ne sais comment trouver.

[Noemi]

@Wil-Fried Bonjour,

Tu es en terminale S ?
Le développement limité au voisinage de 0 à l'ordre 3 de $\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3+0(x^3)$
Le développement limité au voisinage de 0 à l'ordre 3 de $e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+0(x^3)$
donc
Le développement limité au voisinage de 0 à l'ordre 3 de :
$\frac{1}{1+e^x}=\frac{1}{1+(1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+0(x^3))}=\frac{1}{2}\times \frac{1}{1+\frac{x}{2}+\frac{x^2}{4}+\frac{x^3}{12}+0(x^3)}$
soit
$\frac{1}{2}\times (1-(\frac{x}{2}+\frac{x^2}{4}+\frac{x^3}{12})+(\frac{x}{2}+\frac{x^2}{4}+\frac{x^3}{12}{)}^2-(\frac{x}{2}+\frac{x^2}{4}+\frac{x^3}{12}{)}^3)+0(x^3)$

Je te laisse poursuivre les calculs.

[mtschoon]

Bonjour,

Effectivement, les DL se font en Supérieur...
@Wil-Fried s'est trompé de rubrique...

@Wil-Fried , tu peux donner ta réponse pour le DL d'ordre 3 de $\frac{1}{1+x}$ au voisinage de 0 pour vérification, car il sert à la seconde question.

Pour ta seconde question, il faut faire attention, car lorsque x tend vers 0, $e^x$ tend vers 1 donc tu ne peux pas passer par le DL d'une fonction composée, directement avec les DL connus au voisinage de 0.

Il faut passer par le quotient.

Je te mets quelques pistes ( à mieux rédiger car je ne mets que des pointillés)

Tu utilises les DL de $e^x$ (voir cours)
$e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+...$

$\frac{1}{1+e^x}=\frac{1}{1+1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+...}$

$\frac{1}{1+e^x}=\frac{1}{2+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+...}$
Tu mets $\frac{1}{2}$ en facteur :

$\frac{1}{1+e^x}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1+\frac{x^2}{2}+\frac{x^2}{4}+\frac{x^3}{12}+...}\right)$

Tu peux écrire : $\frac{1}{1+e^x}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1+Y}\right)$
avec $Y=\frac{x^2}{2}+\frac{x^2}{4}+\frac{x^3}{12}+...$

Lorsque x tend vers 0, Y tend vers 0, donc tu peux utiliser le DL que tu as trouvé à la première question (appliqué à Y)

Après calculs, sauf erreur, pour DL d'ordre 3 de $\frac{1}{1+e^x}$ tu dois trouver : $\boxed{\frac{x^3}{48}-\frac{x}{4}+\frac{1}{2}}$

Bons calculs !

[mtschoon]

@Noemi , bonjour,

Dans ta réponse initiale tu demandais seulement à @Wil-Fried s'il était en Terminale (ce qui n'est pas la cas !) alors, n'ayant pas vu ta réponse modifiée, j'ai fait les calculs.

[Wil Fried]

Bonjour @mtschoon et @Noemi merci pour vos différentes réponses. Je vais essayer et vous revenir. Et effectivement je me suis trompé de rubrique car je ne suis pas en Tle mais au supérieure.

[Wil Fried]

@mtschoon Salut à tous!
Je fais et j'obtiens quelque chose de très long dans mes calculs. Je dois utiliser la formule du binôme de Newton pour développer même en fait. Est-ce le chemin à prendre ou est-ce qu'il y a des simplifications à faire ?

[Noemi]

@Wil-Fried

Prend que les termes de degré inférieur ou égal à 3.
Tu peux aussi écrire :

$\frac{x}{2}+\frac{x^2}{4}+\frac{x^3}{12}=\frac{x}{2}(1+\frac{x}{2}+\frac{x^2}{6})$
puis tu élèves au carré et au cube.

$\frac{1}{2}\times (1-(\frac{x}{2}+\frac{x^2}{4}+\frac{x^3}{12})+(\frac{x}{2}+\frac{x^2}{4}+\frac{x^3}{12}{)}^2-(\frac{x}{2}+\frac{x^2}{4}+\frac{x^3}{12}{)}^3)+0(x^3)$
donne :
$\frac{1}{2}\times (1-\frac{x}{2}-\frac{x^2}{4}-\frac{x^3}{12}+\frac{x^2}{4}+\frac{x^3}{4}-\frac{x^3}{8})+0(x^3)$

Calcul à vérifier et à poursuivre

[Wil Fried]

@Noemi super! Merci!!

[mtschoon]

@Wil-Fried , bonjour,

Je viens de vérifier mes calculs ( on peut toujours faire une erreur... )

C'est bon, au final, en ayant supprimé les termes de degré strictement supérieur à 3 au cours des calculs, tu dois bien trouver , au voisinage de 0 :

$\frac{1}{1+e^x}=\frac{x^3}{48}-\frac{x}{4}+\frac{1}{2}+o(x^3)$

J'espère que tu vas y arriver.